Xosmas integrallarning umumiy holi

Mashqlar

Aytaylik,

(*)
ixtiyoriy hadli qator bo`lib,

bo`lsin.

1. 
   Agar (*) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda qatorlar yaqinlashuvchi va
   

bo`lishi isbotlansin.
2. Agar (*) qator shartli yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda qatorlarning uzoqlashuvchi bo`lishi isbotlansin.
53-ma`ruza
Ixtiyoriy hadli qatorlarda yaqinlashish alomatlari


1⁰. Leybnits alomati. Ushbu
(1)
qatorni qaraymiz, bunda
Odatda, bunday qator hadlarining ishoralari navbat bilan o`zgarib keladigan qator deyiladi.
Ravshanki, (1) qator ixtiyoriy hadli qatorning bitta holidir.
Masalan, ushbu

qator hadlarining ishoralari navbat bilan o`zgarib keladi-gan qator bo`ladi.
1-teorema (Leybnits alomati). Agar hadlarining ishoralari navbat bilan o`zgarib keladigan (1) qatorda:
1)
2)
bo`lsa, u holda (1) qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
◄ (1) qatorning dastlabki ta hadidan iborat qismiy yig`indisi

ni olaylik. Unda uchun

bo`lib, bo`lganligi sababli (bunda bo`ladi)

bo`ladi. Demak, ketma-ketlik o`suvchi.
Endi yig`indini quyidagicha yozamiz:
.
Bu tenglikning o`ng tomonidagi ifodada qatnashgan qavs ichidagi ayirmalar-ning, shuningdek ning musbat bo`lishini e`tiborga olib,

bo`lishini topamiz. Demak, ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan.
Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremaga ko`ra
( chekli son) (2)
mavjud.
Endi (1) qatorning dastlabki ta sondagi hadidan iborat ushbu

qismiy yig`indisini olaylik. Ravshanki,
.
Teoremaning da bo`lishi sharti hamda (2) munosabatdan foydalanib topamiz:
.
SHunday qilib, berilgan (1) qatorning qismiy yig`indi-laridan iborat ketma-ketlik chekli limitga ega ekani ko`rsatildi. Demak, (1) qator yaqinlashuvchi. ►
Masalan,
(3)
qator hadlari keltirilgan teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi. Teoremaga ko`ra (3) qator yaqinlashuvchi bo`ladi ((3) qatorning yaqinlashuvi va yig`indisi ga teng bo`lishi ko`rsatilgan edi).