6-§. 5-mustaqil ish. Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Ishorasi o`zgaruvchi qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Cheksiz ko`paytmalar



Download 1,46 Mb.
Pdf ko'rish
bet1/20
Sana03.04.2023
Hajmi1,46 Mb.
#924462
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20
Bog'liq
53fd998d27b0252d4ac38870a61b31ad Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi



161 
6-§. 5-MUSTAQIL ISh. 
Sonli qatorlar. 
Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi. 
Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. 
Ishorasi o`zgaruvchi qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. 
Cheksiz ko`paytmalar. 
-A- 
Asosiy tushuncha va teoremalar. 
0
1
 Yaqinlashuvchi qatorlar va ularning xossalari. 
Ushbu 
,...
,...,
,
2
1
n
a
a
a
haqiqiy sonlar ketma-ketligi berilgan bo`lsin. 
1-Ta`rif.
Quyidagi 
...
...
2
1




n
a
a
a
(1) 
ifodaga 
qator (sonli qator) 
deyiladi
 
va u
 



1
n
n
a
 
kabi belgilanadi. 
Shunday qilib, 
...
...
:
2
1
1








n
n
n
a
a
a
a
(2) 
ekan. 
 
n
a
ketma-ketlikning 
,...
,...,
,
2
1
n
a
a
a
elementlari 
qatorning hadlari
deyiladi, 
n
a
esa 
qatorning umumiy hadi
deb ataladi. Ushbu



n
k
k
n
a
S
1

,....
2
,
1

n
(3) 
yig`indilar esa (2)-qatorning
 qismiy yig`indilari deyiladi. 
2-Ta`rif
.
 Agar 
 
n
S
ketma-ketlik chekli limitga ega, ya`ni
S
S
n
n



lim
 
bo`lsa, unda qator 
yaqinlashuvchi
 deyiladi va bu limitning qiymati S (2)-
qatorning yig`indisi 
deb ataladi hamda u 









1
2
1
...
...
n
n
n
a
a
a
a
S
 
kabi yoziladi. 


162 
Agar 
 
n
S
ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lmasa, u holda 
uzoqlashuvchi
 deyiladi. 
3-Ta`rif.
 Ushbu









1
2
1
...
m
n
m
m
n
a
a
a
(4) 
qator (2)-qatorning (m-hadidan keyingi) 
qoldig`i
 deyiladi. 
1-Teorema
.
 Agar (2)-qator yaqinlashuvchi bo`lsa, uning istalgan (4)-
qoldig`i ham yaqinlashuvchi bo`ladi va aksincha, (4)-qoldiqning 
yaqinlashuvchi bo`lishidan berilgan (2)-qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi 
kelib chiqadi. 
1-Natija
.
 Agar (2)-qator yaqinlashuvchi bo`lsa, uning qoldig`i 
...
2
1





m
m
m
a
a
r
 


m
 da nolga intiladi. 
2-Teorema
.
Agar (2)-qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi S 
bo`lsa, u holda 



1
n
n
ca
qator ham yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi
S
c

bo`ladi , ya`ni








1
1
n
n
n
n
a
c
ca
 
tenglik bajariladi. 
3-Teorema
.
Agar 



1
n
n
a
va 



1
n
n
b
qatorlar yaqinlashuvchi bo`lsa, unda 






1
n
n
n
b
a
 qator ham yaqinlashuvchi bo`lib, 







1
n
n
n
b
a




1
n
n
a



1
n
n
b
 
bo`ladi. 
2 va 3-teoremalardan quyidagi natija kelib chiqadi. 
2-Natija
.
Agar 



1
n
n
a
va 



1
n
n
b
qatorlar yaqinlashuvchi bo`lsa, 






1
0
n
n
n
b
d
ca
 


const
d
с

,
 qator ham yaqinlashuvchi bo`lib,


















1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
b
d
a
c
b
d
a
c
 
bo`ladi. 


163 
4-Teorema

(Qator yaqinlashishining zaruriy sharti).
Agar (2)-qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda
0
lim



n
n
a

(5) 
bo`ladi. 
Izoh.
 
4-teoremaning aksi har doim ham o`rinli bo`lavermaydi. 
Masalan, 



1
1
n
n
uchun 
,
0
1
lim
lim






n
a
n
n
n
lekin bu qator yaqinlashuvchi 
emas. 
5-Teorema

(Koshi kriteriyasi)
 
(2)-qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi 
uchun quyidagi shartning bajarilishi zarur va yetarli: 
0



son uchun 
 
0
0
:
n
n
N
n





 va 

 butun 
0

p
 son uchun











p
n
n
n
p
n
n
k
k
a
a
a
a
...
1

(6) 
tengsizlik bajariladi. 
2
0
 
Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashishi 
Aytaylik, 








1
2
1
...
...
n
n
n
a
a
a
a
(7) 
qator berilgan bo`lsin. Agar 
N
n


uchun 
0

n
a
bo`lsa, unda (7)-qatorga 
musbat hadli qator 
yoki qisqacha 
musbat qator
deb ataladi. 
Bu punktda biz musbat hadli qatorlar uchun yaqinlashish alomatlarini 
keltiramiz. 
1-Teorema. (Veyershtrass kriteriyasi)
(7)-qator yaqinlashuvchi 
bo`lishi uchun uning qismiy yig`indilari ketma-ketligi 
 
n
S
yuqoridan 
chegaralangan bo`lishi zarur va yetarlidir. 
Misol. 
Ushbu









1
...
1
...
3
1
2
1
1
1
n
n
n





(8) 
umumlashgan garmonik qatorning 
1


da yaqinlashuvchi ekanligi 
isbotlansin. 








n
k
n
n
k
S
1
1
...
2
1
1
1



va 


 






n
n
n
S
n
S
S

1
1
1

Endi uning yuqoridan chegaralanganligini ko`rsatamiz: 


164 


 
















































1
2
1
2
1
...
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
2
1
...
3
1
2
1
1
1
2
n
n
n
S
S
n
n
 
 











































n
S
n
n
n
1
2
1
1
1
...
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
...
4
1
4
1
2
1
2
1
1










1
2
2
1
1







n
S

  
n
S
n


,...
2
,
1
ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan. 
1-teoremaga ko`ra 



1
1
n
n

umumlashgan garmonik qator 
1


da 
yaqinlashadi.

Faraz qilaylik, (7)-qator va ushbu








1
2
1
...
...
n
n
n
b
b
b
b
(9) 
qatorlar berilgan bo`lsin. Unda quyidagi taqqoslash teoremalari o`rinli 
bo`ladi. 
2-Teorema.
 
(Birinchi taqqoslash alomati)
Agar n ning biror 


1
0
0

n
n
 qiymatidan boshlab barcha 
0
n
n

 lar uchun
n
n
b
a

 
tengsizlik o`rinli bo`lsa, unda (9)-qatorning yaqinlashuvchi bo`lishidan (7) 
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi va (7)-qatorning uzoqlashuvchi 
bo`lishidan (9)-qatorning uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqadi. 
 
3-Teorema.
Agar
k
b
a
n
n
n



lim






k
0
 
bo`lsa, 
a) 


k
 
bo`lganda, (9)-qatorning yaqinlashuvchi bo`lishidan (7)-
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi; 
b) 
0

k
 bo`lganda, (9)-qatorning uzoqlashuvchi bo`lishidan (7)-qatorning 
uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqadi. 


165 
 
Natija.
Agar 


n
da 
 
n
n
b
a
*
0

bo`lsa 


bo'lsa
k
ni
y
0
'



 
unda (7)-qatorning yaqinlashishi (9)-qatorning yaqinlashishiga ekvivalent 
bo`ladi. 
 
4-Teorema.
(Ikkinchi taqqoslash alomati)
Agar n ning biror 


1
0
0

n
n
 qiymatidan boshlab barcha 
0
n
n

 lar uchun
n
n
n
n
b
b
a
a
1
1



 
tengsizlik bajarilsa , unda
1)
 
(9)-qator yaqinlashuvchi bo`lsa, (7)-qator yaqinlashuvchi; 
2)
 
(7)-qator uzoqlashuvchi bo`lsa, (9)-qator uzoqlashuvchi bo`ladi. 
Endi musbat hadli (7)-qator uchun yaqinlashish alomatlarini keltiramiz. 
 

Download 1,46 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish