6-§. 5-mustaqil ish. Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Ishorasi o`zgaruvchi qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Cheksiz ko`paytmalar

 
2-Masala. Berilgan funksional ketma-ketlikni ko`rsatilgan 
oraliqda tekis yaqinlashishga tekshiring. 
2.1 
 

x
f
n
.
1
0
;
ln


x
n
x
n
x
 
2.2 
 

x
f
n
.
4
1
0
;


x
x
n
 
2.3 
 

x
f
n


.
1
1
;
2





x
e
n
x
 
2.4 
 

x
f
n
.
1
0
;
1




x
x
x
n
n
 

---

212 
2.5 
 

x
f
n
 
.
1
0
;
1




x
e
x
n
 
2.6 
 

x
f
n
.
1
0
;


x
x
n
 
2.7 
 

x
f
n
.
0
,



x
xarctgnx
 
2.8 
 

x
f
n
.
1
0
;
2



x
x
x
n
n
 
2.9 
 

x
f
n
.
0
;



x
arctgnx
 
2.10 
 

x
f
n
.
0
;
1




x
n
x
 
2.11 
 

x
f
n
.
;
sin




x
n
x
 
2.12 
 

x
f
n
.
1
0
;
1




x
x
n
nx
 
2.13 
 
.
;
sin





x
n
nx
x
f
n
 
2.14 
 
.
0
,
1
0
;
1








x
x
x
x
f
n
n
n
 
2.15 
 

x
f
n
.
0
;
1











x
x
n
x
n
 
2.16 
 
.
0
,
1
1
;
1










x
x
x
x
f
n
n
n
 
2.17 
 
.
;
1
2
2






x
n
x
x
f
n
 
2.19 
 

x
f
n
.
1
;
1
2
2
2




x
x
n
nx
 
2.18 
 
.
2
;
1





x
x
x
x
f
n
n
n
 
2.20 
 
.
1
0
;
1
2
2
2




x
x
n
nx
x
f
n
 
2.21 
 
.
1
0
)
,
0
)
,









x
b
x
a
nx
x
n
x
n
x
f
n
 
 
3-masala. 
Veyershtrass 
alomatidan 
foydalanib 
berilgan 
funksional qatorlarni ko`rsatilgan oroliqlarda tekis yaqinlashishini 
ko`rsating. 
3.1 






1
`
3
2
.
;
2
n
x
n
x
x
arctg
 
3.2 







1
2
0
;
n
nx
x
e
x
 
3.3 











1
`
2
2
.
3
;
ln
1
ln
n
x
n
n
x
 
3.4 





1
`
.
;
sin
n
x
n
n
nx
 
3.5 





1
`
2
.
;
cos
n
x
n
nx
 
3.6 






1
`
3
4
4
.
;
sin
n
x
x
n
nx
 
3.7 




1
`
.
2
;
!
n
n
x
n
x
 
3.8 









1
`
2
.
2
2
1
;
!
n
n
n
x
x
x
n
n
 
3.9 






1
`
2
5
.
;
1
n
x
x
n
nx
 
3.10 







1
`
2
4
.
0
;
1
n
x
x
n
x
 
3.11 
 









1
.
2
;
2
1
n
n
n
x
x
 
3.12 








1
`
2
2
.
;
1
n
x
n
x
 

---

213 
3.13 
 









1
3
1
.
0
;
1
n
n
x
n
x
 
3.14 
 







1
3
1
.
1
0
;
1
n
n
n
x
n
x
 
3.15 
 








1
2
1
.
1
1
;
1
n
n
n
x
n
x
 
3.16 

 












1
.
0
;
1
2
1
2
1
n
x
n
x
n
x
 
3.17 








1
2
2
.
;
2
1
sin
n
x
n
x
x
arctg
n
 
3.18 















1
2
3
2
.
;
2
1
ln
n
x
x
n
nx
 
3.19 













1
.
3
1
;
3
1
3
1
n
n
n
x
n
x
 
3.20 









1
.
2
,
1
ln
n
n
x
x
nx
n
 
3.21 


.
2
0
;
1
ln
1
ln
1
2














x
n
n
x
n
 
 
4-masala. Berilgan funksional qatorning ko`rsatilgan oraliqda 
tekis yoki notekis yaqinlashuvchiligini aniqlang. 
4.1 


 









1
.
1
0
;
1
...
2
1
1
n
x
nx
x
x
nx
 
4.2 


 










1
.
1
;
1
...
2
1
1
n
x
nx
x
x
nx
 
4.3 












1
.
0
;
1
1
n
x
n
x
n
x
 
4.4 















1
.
0
;
1
1
1
n
x
nx
x
n
x
 
4.5 















1
1
.
1
1
;
1
n
n
n
x
n
x
n
x
 
4.7 






0
.
0
;
!
n
n
x
n
x
 
4.6 








0
.
1
0
;
1
n
n
x
x
x
 
4.8 






1
3
.
1
1
;
n
n
x
n
x
 
4.9 





1
.
2
3
2
;
sin
n
x
n
nx


 
4.10 





1
.
2
0
;
sin
n
x
n
nx

 
4.11 







1
.
0
;
3
1
sin
2
n
n
n
x
x
 
4.12 
 








1
.
0
;
1
n
n
x
n
x
 
4.13 
 







2
.
2
0
;
sin
1
n
n
x
x
n

 
4.14 








1
2
2
.
;
3
2
cos
n
x
x
n
n

 
4.15 






1
.
2
0
,
n
ntgx
x
e

 
4.16 














1
2
2
2
.
0
;
1
1
ln
n
x
x
n
x
 

---

214 
4.17 
 











1
.
1
;
1
1
n
n
n
n
x
x
n
x
 
4.18 







1
3
3
.
0
;
1
n
x
x
n
x
n
 
4.19 







1
3
3
.
1
;
1
n
x
x
n
x
n
 
4.20 







1
4
2
.
0
;
)
1
(
n
x
nx
x