6-§. 5-mustaqil ish. Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Ishorasi o`zgaruvchi qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Cheksiz ko`paytmalar

2.21-masala. Ushbu 

 







2
2
1
2
5
n
n
n
n
n
 
qator yig`indisini toping. 

Birinchi navbatda bu qatorning umumiy hadini noma`lum koeffitsientlar 
usulidan foydalanib, sodda kasrlarga yoyamiz: 

---

187 

 

.
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
2
5
n
n
n
c
b
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a




































































n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
k
k
k
k
k
n
k
k
k
k
c
b
c
b
a
S
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1


































2
1
1
...
7
1
5
1
6
1
4
1
5
1
3
1
4
1
2
1
2
1
1
1
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
n
n
n
n

.
3
2
2
3
8
lim
.
2
2
1
2
1
3
8
2
1
1
1
3
1
2
1
2
1
1



























 


n
n
S
S
n
n
n
n
n
n
3.21-masala. Quyidagi






1
1
1
.
2
3
sin
2
sin
n
n
n


 
qatorning qismiy yig`indisi 
n
S
 va yig`indisi 
S
 ni toping. 

Bu masalani yechishda






y
x
y
x
y
x





cos
cos
2
1
sin
sin
formuladan foydalanamiz. 


















n
k
n
k
k
k
k
k
n
S
1
1
1
1
1
2
cos
2
cos
2
1
2
3
sin
2
sin





















1
2
3
2
2
cos
2
cos
...
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
cos
2
cos
2
1
n
n








 



.
2
sin
cos
1
2
1
lim
cos
2
cos
2
1
2


















n
n
n
S
S
 
4.21-masala. Koshi kriteriyasidan foydalanib, umumiy hadi 


1
1


n
n
a
n
 
bo`lgan 



1
n
n
a
 qatorning uzoqlashuvchi ekanligini isbotlang. 

 
Ma`lumki, 
0



son topilsaki ,
N
n


0
 
olinganda ham 
0
n
n


va butun 
0

p
sonlar mavjud bo`lib,





p
n
n
k
k
a
tengsizlik bajarilsa, unda 



1
n
n
a
qator uzoqlashuvchi bo`ladi. 

---

188 
Agar 
1


va 
n
p

deb olsak, unda 
N
n


0
olinganda ham 
0
n
n


topiladiki va





 


























p
n
n
k
p
n
n
k
k
p
n
p
n
n
n
n
n
k
k
a
1
1
...
2
1
1
1
1
1
1


















3
1
2
2
1
1
n
n
n
p
n
p
p
n
p
p
n
p
n
p
n
p
bo`ladi 





1
n
n
a
qator uzoqlashuvchi.

5.21-masala. 









 
1
4
7
5
2
cos
2
n
n
n
n

 qatorni yaqinlashishga 
tekshiring. 

 


n
n
b
n
n
n
n
n
n
a











 

4
5
4
7
4
7
3
1
2
5
2
cos
2

 
bo`lib, 




1
3
n
n
b



1
4
5
1
n
n
qator yaqinlashuvchi , chunki 
1
4
5

. Unda taqqoslash 
alomatiga ko`ra berilgan qator ham yaqinlashuvchi.

6.21-masala. 








 
1
cos
1
n
n

 qatorni yaqinlashishga tekshiring. 
.
2
sin
2
cos
1
2
n
n
a
n






 
Agar 
2
1
n
b
n

desak, 


n
da 
 
n
n
b
a
*
0

bo`ladi. Darhaqiqat, 
0
2
2
2
sin
lim
2
1
2
sin
2
lim
lim
2
2
2
2
2



























n
n
n
n
b
a
n
n
n
n
n




1
n
n
b



1
2
1
n
n
-yaqinlashuvchi

taqqoslash alomati
ga ko`ra 




1
n
n
a








 
1
cos
1
n
n

qator ham yaqinlashuvchi.

7.21-masala. 
 



1
5
1
!
2
!
n
n
tg
n
n
 qatorni yaqinlashishga tekshiring. 

 
Dalamber alomatidan foydalanib, tekshiramiz.

---

189 
 
;
5
1
!
2
!
n
n
tg
n
n
a







  



;
5
1
2
2
1
2
!
2
1
!
5
1
!
2
2
!
1
1
1
1














n
n
n
tg
n
n
n
n
n
tg
n
n
a





n
n
n
a
a
d
1
lim















1
0
1
2
1
lim
10
1
5
1
5
1
1
2
2
1
lim
1
n
tg
tg
n
n
n
n
n
Berilgan qator yaqinlashuvchi. 

8.21-masala. 












1
2
1
3
1
n
n
n
n
n
 qatorni yaqinlashishga tekshiring. 
 

Koshi alomatidan foydalanib, tekshiramiz: 








 






 



















1
3
1
1
lim
3
1
1
lim
3
1
1
lim
3
1
lim
e
n
n
n
n
n
a
q
n
n
n
n
n
n
n
n
n
 
Berilgan qator yaqinlashuvchi. 

9.21-masala. 

 






2
2
1
ln
5
1
n
n
n
 qatorni yaqinlashishga tekshiring.
 

Bu qatorni yaqinlashishga taqqoslash va Koshining integral 
alomatlaridan foydalanib, tekshiramiz: 

 
 
 

.
2
,
ln
1
1
ln
1
1
1
ln
5
1
2
2
2










n
b
n
n
n
n
n
n
a
n
n
 



2
2
ln
x
x
dx
 
2
ln
1
|
ln
1
ln
ln
2
2
2







x
x
x
d
 
bo`lgani uchun Koshining integral 
alomatiga ko`ra 



2
n
n
b
qator yaqinlashuvchi va taqqoslash alomatiga ko`ra 
berilgan qator ham yaqinlashuvchi. 

10.21-masala. Quyidagi


0
!
!
1
2
lim




n
n
n
n
 
tenglikni qator yaqinlashishining zaruriy shartidan foydalanib, 
isbotlang. 

Umumiy hadi 


n
n
n
n
a
!
!
1
2


bo`lgan 



1
n
n
a
qatorni yaqinlashishga 
tekshiramiz. Bunda Dalamber
 
alomatidan foydalanamiz: 

---

190 





































 
















1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
lim
!
!
1
2
1
!
!
1
2
lim
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
e
n
n
n
n
n
n
n
a
a
d
yaqinlashuvchi 

Qator yaqinlashishining zaruriy sharti, ya`ni 


0
!
!
1
2
lim







n
n
n
n
n
n
a
lm
tenglik bajariladi. 
