6-§. 5-mustaqil ish. Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Ishorasi o`zgaruvchi qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Cheksiz ko`paytmalar

7-§. 6-MUSTAQIL ISH 
Funksional ketma-ketliklar va qatorlar 
Funksional ketma-ketlik tushunchasi. 
Funksional ketma-ketliklarning yaqinlashishi va tekis yaqinlashishi. 
Funksional qator tushunchasi. 
Funksional qatorlarning yaqinlashishi va tekis yaqinlashishi. 
Funksional qator yig`indisi va funksional ketma-ketlik limitining 
xossalari. 
Darajali qatorlar. 
Teylor qatori. Elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish. 
Darajali qatorlarning tatbiqlari. 
-A- 
Asosiy tushuncha va teoremalar. 
1
0
 Funksional ketma-ketliklar, ularning yaqinlashishi va tekis 
yaqinlashishi. 
 
R
X

to`plam berilgan bo`lib, unda
   
 
,...
,...,
,
2
1
x
f
x
f
x
f
n
funksiyalar aniqlangan bo`lsin. Ana shu funksiyalardan tuzilgan ketma-
ketlikka X to`plamda berilgan 
funksional ketma-ketlik
deyiladi va u 
 


x
f
n
kabi belgilanadi: 
 


x
f
n
:
   
 
,...
,...,
,
2
1
x
f
x
f
x
f
n
(1) 
 
x
f
n
ga funksional ketma-ketlikning 
umumiy hadi 
deyiladi. 
Ixtiyoriy 
X
x

0
nuqta olib, ushbu
 


0
x
f
n
:
   
 
,...
,...,
,
0
0
2
0
1
x
f
x
f
x
f
n
(2) 
sonli ketma-ketlikni qaraymiz. Agar bu sonli ketma-ketlik 
yaqinlashuvchi 
(uzoqlashuvchi) 
bo`lsa, 
 


x
f
n
funksional ketma-ketlik 
0
x
nuqtada 
yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) 
deyiladi, 
0
x
nuqta esa funksional ketma-
ketlikning 
yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi 
deb ataladi. 
 


x
f
n
funksional ketma-ketlikning barcha yaqinlashish nuqtalaridan 
iborat 


R
M
M

to`plam 
 


x
f
n
funksional 
ketma-ketlikning 

---

196 
yaqinlashish sohasi deyiladi. 
M
x



uchun ushbu 
 




x
f
n
n
lim
bo`ladi. Agar 
M
x


uchun unga mos keluvchi 
 
x
f
n
n


lim
ni mos qo`ysak, 
ya`ni
 
x
f
x
f
n
n



lim
:
bo`lsa, unda M to`plamda aniqlangan 
 
x
f
funksiya hosil bo`ladi. Bu 
 
x
f
funksiya 
 


x
f
n
ketma-ketlikning 
limit funksiyasi
deyiladi. Demak, 
 



x
f
n
n
lim
 
x
f


M
x

(3) 
 
Ta`rif. 
Agar 
0



 son olinganda ham 
 
0
0
0
:
n
n
N
n
n






 va 
M
x


uchun
 
 



x
f
x
f
n

(4) 
tengsizlik bajarilsa, 
 


x
f
n
funksional ketma-ketlik M to`plamda 
 
x
f
limit 
funksiyaga 
tekis yaqinlashadi
deyiladi va 
 


x
f
n
 
x
f


M
x

kabi 
belgilandi. Aks holda, ya`ni 
0
0



 
N
n


olinganda ham 
n
m


va 
M
x


0
lar mavjud bo`lsaki
 
 
0
0
0



x
f
x
f
m
 
tengsizlik bajarilsa, 
 


x
f
n
funksional ketma-ketlik M to`plamda
 
x
f
limit 
funksiyaga 
tekis yaqinlashmaydi
 yoki 
notekis yaqinlashadi
 deyiladi. 
 
1-Teorema. 
 


x
f
n
funksional ketma-ketlikning M toplamda
 
x
f
ga 
tekis yaqinlashishi uchun
 
 
0
lim





x
f
x
f
Sup
n
M
x
n

(5) 
tenglikning bajarilishi zarur va yetarli. 
 
2-Teorema.
 
(Koshi kriteriyasi). 
 


x
f
n
funksional ketma-ketlikning 
M to`plamda
 
x
f
ga tekis yaqinlashishi uchun quyidagi shartning 
bajarilishi zarur va yetarlidir: 
0



 uchun 
 
0
0
0
:
n
n
N
n
n






 va 

 
butun 
0

p
 sonlari hamda barcha 
M
x

lar uchun
 
 




x
f
x
f
n
p
n

(6) 
tengsizlik bajariladi. 

---

197 
 
3-Teorema. (Veyershtrass alomati). 
Agar 
 
n
a

sonlar ketma-
ketligi mavjud bo`lib, 
 
1) 
N
n


 uchun 
0

n
a
va 
;
0
lim



n
n
a
 
 
2) 
M
x


 va barcha 
N
n

lar uchun
 
 
n
n
p
n
a
x
f
x
f



 
bo`lsa, unda M to`plamda 
 
x
f
f
n


 bo`ladi. 
2
0
.
 
Funksional qatorlarning yaqinlashishi va tekis yaqinlashishi. 
 
 
Biror 
R
X

to`plamda 
 


x
u
n
funksional ketma-ketlik berilgan 
bo`lsin. Quyidagi
 
 
 
...
...
2
1




x
u
x
u
x
u
n
ifodaga 
funksional qator 
deyiladi va u 
 



1
n
n
x
u
kabi belgilanadi. 
 




1
0
n
n
x
u
 
 
 
...
...
2
1




x
u
x
u
x
u
n
(7) 
   
 
,...
,...,
,
2
1
x
u
x
u
x
u
n
larga funksional qatorning h
adlari, 
 
x
u
n
ga esa 
funksional qatorning 
umumiy hadi 
deyiladi. 
Ixtiyoriy 
X
x

0
nuqta olib, ushbu
 




1
n
n
x
u
 
 
 
...
...
0
0
2
0
1




x
u
x
u
x
u
n
(8) 
sonli qatorni qaraymiz. 
Agar 
bu 
sonli qator 
yaqinlashuvchi 
(uzoqlashuvchi) 
bo`lsa, 
 



1
n
n
x
u
funksional 
qator 
0
x
nuqtada 
yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) 
deyiladi, 
0
x
nuqta esa funksional 
qatorning 
yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi 
deb ataladi. 
 



1
n
n
x
u
funksional qatorning barcha yaqinlashish nuqtalaridan 
iborat 


R
M
M

to`plam bu funksional qatorning 
yaqinlashish sohasi 
deyiladi. 

M
x


0
nuqta olib, 
 



1
0
n
n
x
u
sonli qatorni ko`rsak, u 

---

198 
yaqinlashuvchi bo`ladi. Uning yig`indisini 
 
0
x
S
deb belgilaymiz. Xuddi 
shunga o`xshash 
M
x


olib, unga 
 



1
n
n
x
u
qatorning yig`indisini mos 
qo`ysak, u holda M to`plamda aniqlangan 
 
x
S
funksiya hosil bo`ladi. Bu 
 
x
S
funksiya (7)-funksional qatorning 
yig`indisi 
deyiladi: 
 

x
S
 




1
n
n
x
u
 
 
 
...
...
2
1




x
u
x
u
x
u
n
Ushbu
 

x
S
n
 
,
1


n
k
k
x
u
,...
2
,
1

n
yig`indilarga (7)-funksional qatorning 
qismiy yig`indilar 
deyiladi. 
Shunday qilib, (7)-qatorga mos keluvchi
 


:
x
S
n
   
 
,...
,...,
,
2
1
x
S
x
S
x
S
n
(9) 
funksional ketma-ketlikni hosil qildik va aksincha, (9)-qismiy 
yig`indilari ketma-ketligi berilgan holda har doim hadlari (7)-
funksional qatorning hadlariga teng bo`lgan quyidagi 
 
 
 


 
 


...
...
1
1
2
1







x
S
x
S
x
S
x
S
x
S
n
n
funksional qatorni hosil qilish mumkin. 

Agar (9)-ketma-ketlik 
0
x
nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, u holda (7)-qator ham 
0
x
nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`ladi va
 
 
x
S
x
S
n
n



lim
tenglik bajariladi. 
Demak, funksional qator yoki funksional ketma-ketlikdan birining 
xossalarini batafsil o`rganish yetarlidir. 
Ta`rif. 
Agar (7)-funksional qatorning qismiy yig`indilaridan tuzilgan 
 


x
S
n
funksional ketma-ketlik M to`plamda qatorning yig`indisi 
 
x
S
ga 
tekis yaqinlashsa, unda (7)-funksional qator M to`plamda 
tekis 
yaqinlashadi
 
deyiladi. 
   
 
 







1
n
k
k
n
n
x
u
x
S
x
S
x
r
deb belgilaymiz. 

---

199 
 
1-Teorema. 
(7)-funksional 
qatorning 
M 
to`plamda 
tekis 
yaqinlashuvchi bo`lishi uchun
 
0
lim




x
r
Sup
n
M
x
n