6-§. 5-mustaqil ish. Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Ishorasi o`zgaruvchi qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Cheksiz ko`paytmalar

6
0
. Darajali qatorlarning tatbiqlari
 
a) Darajali qatorlar yordamida differensial tenglamalarni yechish. 
 
Aytaylik, 
 
 
 
x
f
y
x
q
y
x
p
y





(24) 
differensial tenglamaning ushbu 
 
,
0
0
y
x
y

 
,
1
0
y
x
y


(25) 
boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsin. 
Agar 
     
x
f
x
q
x
p
,
,
funksiyalarni 
0
x
nuqtaning biror atrofida shu 
funksiyalarga yaqinlashuvchi 






0
0
n
n
n
x
x
c
ko`rinishida ifodalash mumkin bo`lsa, unda yuqoridagi Koshi masalasi 
yagona yechimga ega bo`lib, uni
 







0
0
n
n
n
x
x
a
x
y
(26) 
ifodalash mumkin. (26)-qatordagi noma`lum 
n
a
koeffitsientlarni topish 
uchun 
(24)-tenglamadagi 
f
q
p
y
y
y
,
,
,
,
,


lar 
o`rniga 
ularning 
yoyilmalari olib borib qo`yiladi va noma`lum koeffitsientlar usulidan 
foydaniladi. 
 
Misol.
0



xy
y
(27) 
tenglamaning ushbu 
 
,
1
0

y
 
0
0


y
(28) 

---

208 
boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping. 

(27)-tenglamaning yechimini 




0
n
n
n
x
a
y
(29) 
ko`rinishda qidiramiz. Unda 




















2
1
2
2
2
,
1
2
2
1
n
n
n
n
n
n
x
a
n
n
a
x
a
n
n
y















0
0
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
xy
bo`lib, (27)-tenglama quyidagi ko`rinishga keladi: 















1
1
1
2
2
.
2
1
2
n
n
n
n
n
n
x
a
x
a
n
n
a
Bu tenglikdagi x ning mos darajalari oldidagi mos koeffitsientlarni 
tenglash yordamida 
,
0
2

a



N
n
a
a
n
n
n
n






,
2
1
1
2
(30) 
rekkurent formulani hosil qilamiz. 
0
2

a
bo`lganligi sababli bu rekkurent 
formuladan 
0
5

a
, 
0
8

a
va umuman 
N
n
a
n



,
0
1
3
ekanligini topamiz. Shu formuladan yana
   




,
3
1
3
...
6
5
3
2
0
3
n
n
a
a
n







   




,
1
3
3
...
7
6
4
3
0
1
3









n
n
a
a
n
tengliklar o`rinli bo`lishi kelib chiqadi. (28)-shartlar va (29)-tenglikdan 
.
0
,
1
1
0



a
a
Demak, (27)-tenglamaning (28)-shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi 
quyidagi ko`rinishga ega ekan: 
   
   





...
3
1
3
...
6
5
3
2
...
6
5
3
2
3
2
1
3
6
3

















n
n
x
x
x
y
n
b) Darajali qatorlar yordamida integrallarni hisoblash. 

---

209 
Integrallarni hisoblashda ham integral ostidagi funksiyani darajali 
qatorga yoyish ko`p hollarda yaxshi natija beradi. 
Misol.
Ushbu 





1
0
1
ln
dx
x
x
I
integral hisoblansin. 

Avvalgi punktdagi 


x

1
ln
ning Makloren qatoriga yoyilmasidan 
foydalanamiz: 


 
 
 



 
 

































1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
ln
n
n
n
n
n
n
n
n
n
dx
n
x
dx
n
x
dx
n
x
x
dx
x
x
I
 




















1
1
1
2
4
2
2
2
2
1
.
12
24
8
1
4
1
1
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n




Izoh
. Sonli qatorlarning yig`indilarini hisoblashda ko`p hollarda 
quyidagi tengliklar katta yordam beradi. 
 






1
1
,
2
ln
1
n
n
n
(31) 




1
2
2
6
1
n
n

(32) 







1
2
2
8
1
2
1
n
n

(33) 
 







1
1
4
1
2
1
n
n
n

(34) 
Yuqoridagi 
misolni 
yechishda 
(33) 
va 
(32)-tengliklardan 
foydalanildi. 
Nazorat savollari. 
1. Funksional ketma-ketlik tushunchasi. 
2. Funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi tushunchasi. 
3. Funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashishi ta`rifi. 
4. Funksional ketma-ketlik tekis yaqinlashishining zaruriy va yetarli sharti. 
5. Funksional qator tushunchasi. 
6. Funksional qatorning yaqinlashishi tushunchasi. 
7. Funksional qator tekis yaqinlashishining ta`rifi. 

---

210 
8. Funksional qator tekis yaqinlashishining zaruriy va yetarli sharti. 
9. Funksional qator tekis yaqinlashishining zaruriy sharti. 
10. Funksional qatorning tekis yaqinlashishi haqidagi Veyershtrass 
alomati. 
11. Dirixle alomati. 
12. Abel alomati. 
13. Funksional ketma-ketlik limit funksiyasining uzluksizligi. 
14. Funksional qator yig`indisining uzluksizligi. 
15. Funksional qatorlarni hadlab integrallash. 
16. Funksional qatorlarni hadlab differensiallash. 
17. Darajali qator tushunchasi. 
18. Abelning birinchi teoremasi. 
19. Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish oralig`i. 
20. Darajali qator yaqinlashish radiusini topish uchun Dalamber formulasi. 
21. Darajali qator yaqinlashish formulasini topish uchun Koshi formulasi. 
22. Koshi-Adamar formulasi. 
23. Teylor qatori va Teylor teoremasi. 
24. Elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish. 
25. Darajali qatorlar yordamida differensial tenglamalarni yechish. 
26. Darajali qatorlar yordamida integrallarni hisoblash. 
-B- 
Mustaqil yechish uchun misol va masalalar. 
 
1-masala. 
 


x
f
n
 funksional ketma-ketlikning M to`plamdagi 
limit funksiyasini toping. 
1.1 
 
 
.
1
;
0
,
2
3
3
2






M
x
x
x
x
f
n
n
n
n
 
1.2 
 







;
0
,
2
3
2
M
n
x
nx
x
f
n
 
1.3 
 
.
,
1
2
R
M
n
x
x
f
n



 
1.4 
  







;
0
,
1
M
arctgx
x
x
f
n
n
 
1.5 
 
 
.
2
;
0
,
1



M
x
x
f
n
n
n
 
1.6 
 

x
f
n
.
,
1
2
2
R
M
x
n
nx


 
1.7 
 

x
f
n
 
.
;
0
,
sin


M
x
n
 
1.8 

---

211 
 

x
f
n


.
;
0
,
ln
ln
2
ln
2
2
2
2





M
n
x
x
n
x
n
 
1.9 
 

x
f
n
.
2
;
0
,
sin






M
x
x
n
 
 
1.10 
 

x
f
n
.
2
;
2
,
cos







M
x
n
 
1.11 
 

x
f
n


.
;
0
,
2
3




M
e
x
n
nx
 
1.12 
 

x
f
n


.
;
0
,
1
2










M
x
n
x
n
 
1.13 
 

x
f
n
 
.
3
;
1
,
1
1










M
x
n
n
 
1.14 
 

x
f
n


.
;
0
,
2


M
narctgnx
 
1.15 
 

x
f
n


.
;
0
,
2
1
1











M
x
x
n
n
n
 
1.16 
 

x
f
n


.
;
0
,
2
1
2










M
x
x
n
n
n
 
1.17 
 

x
f
n




.
,
0
,
1
ln
sin



M
n
x
n
 
1.18 
 

x
f
n


.
;
0
,
2
2



M
nx
arctg
n
x
n
 
1.19 
 

x
f
n


.
;
0
,
cos
1
ln










M
x
n
nx
 
1.20 
 

x
f
n


.
;
0
,
4
3





M
e
x
n
nx
 
1.21 
 

x
f
n


.
;
0
,
3
ln
2
4
2










M
e
n
e
n
x
x