6-§. 5-mustaqil ish. Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Ishorasi o`zgaruvchi qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Cheksiz ko`paytmalar

 
15.12 


.
1
0
2
n
n
x
n
n





 
15.13 


.
1
2
0
2
n
n
x
n
n





 
15.14 


.
4
5
3
1
0
2






n
n
x
n
n
 
15.15 


.
4
7
0
2
n
n
x
n
n





 
15.16 


.
2
2
1
0
2






n
n
x
n
n
 
15.17 


.
1
2
2
0
2
n
n
x
n
n





 
15.18 


.
1
2
1
0
2






n
n
x
n
n
 
15.19 


.
2
2
2
0
2






n
n
x
n
n
 
15.20 


.
3
4
1
0
2






n
n
x
n
n
 
15.21 


.
4
5
2
0
2






n
n
x
n
n
 
 
16-masala. 
Integral ostidagi funksiyani qatorga yoyish yordamida berilgan 
integralni hisoblang. 
16.1 


1
0
.
1
1
ln
dx
x
 
16.2 





1
0
.
1
ln
ln
dx
x
x
 
16.3 



0
2
.
1
dx
e
x
x

 
16.4 



0
.
1
x
e
xdx
 
16.5 





1
0
2
.
1
ln
dx
x
x
x
 
 
Darajali qatorlar yordamida quyidagi differensial tenglamaning 
berilgan boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping. 

---

223 
16.6 
 
.
1
0
,
0




y
y
y
 
16.7 


 
.
0
0
,
0
1
1
2





y
y
x
 
16.8 
 
 








0
,
1
0
,
0
2
y
y
y
y
 
16.9 
 
 
0
0
,
1
0
,
0






y
y
xy
y
 
16.10 


 
 
1
0
,
0
0
,
0
1
2








y
y
y
x
y
x
16.11 


 
 
0
0
,
1
0
,
0
4
5
1
2









y
y
y
y
x
y
x
 
16.12 
 
 
1
0
,
0
0
,
0






y
y
xy
y
 
 
Integral ostidagi funksiyani darajali qatorga yoyish usuli 
yordamida berilgan integralni 0,001 aniqlikda hisoblang. 
16.13 

1
0
.
sin
dx
x
x
 
16.14 

1
0
3
.
cos
xdx
x
 
16.15 

1
0
2
.
sin
dx
x
 
16.16 


1
0
4
.
1
x
dx
 
16.17 

4
2
1
.
dx
e
x
 
16.18 

2
1
0
.
dx
x
arctgx
 
16.19 


3
1
0
3
2
.
1
x
dx
 
16.20 




10
5
2
2
.
1
ln
dx
x
x
 
16.21 


1
0
.
2
dx
e
x
 
 
-C- 
Namunaviy variant yechimi. 
1.21-masala. Ushbu 
 









x
x
n
e
n
e
n
x
f
2
4
2
3
ln
 funksional ketma-
ketlikning 




;
0
M
 to`plamdagi limit funksiyasini toping. 

 
 
ln
lim
lim






n
n
n
x
f
x
f
























x
x
n
x
x
e
n
e
n
e
n
e
n
2
4
2
2
4
2
3
1
ln
lim
3
ln
3






.
3
ln
0
1
3
ln
3
lim
3
3
1
ln
lim
3
ln
2
4
2
2
4
2
2
4
2






















x
x
n
x
x
x
x
n
e
n
e
n
e
n
e
n
e
n
e
n

---

224 
2.21-masala. 
 
nx
x
n
x
n
x
f
n




funksional ketma-ketlikni a) 



x
0
 b) 
1
0


x
 oraliqlarda tekis yaqinlashishga tekshiring. 

Ikkala oraliqda ham 
 
x
f
n
ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lib, 
 
 
1
1
1
lim
lim
lim
















n
x
n
x
n
x
nx
x
n
x
n
x
f
x
f
n
n
n
n
bo`ladi. Endi tekis yaqinlashishga tekshirish uchun 
0
1
-punktdagi 1-
teoremadan foydalanamiz. 
 
 
 
nx
x
n
nx
nx
x
n
x
n
x
f
x
f
x
r
n
n










1
deb belgilasak, 1-teoremaga ko`ra 
 


x
f
n
ketma-ketlik M to`plamda tekis 
yaqinlashishi uchun ushbu 
 
0
lim




x
r
Sup
n
M
x
n
munosabatning bajarilishi zarur va yetarli. 
a) 



x
0
 
bo`lsin.
 






 
 












n
r
x
r
Sup
nx
x
n
x
x
n
n
x
r
n
n
x
n
,
0
2








3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
n


 
 
.
1
0
3
1
lim
,
0








x
f
x
r
Sup
n
n
x
n
b) 
1
0


x
bo`lsin. Bu oraliqda 
 
0


x
r
n
bo`lgani uchun 
 


 
 
 




















0
1
lim
lim
1
1
1
0
1
0
n
n
n
x
r
Sup
n
n
n
r
x
r
Sup
x
r
n
n
x
n
n
n
x
n
 
x
f
n

funksional ketma-ketlik 1 ga tekis yaqinlashmaydi. 
Demak, berilgan funksional ketma-ketlik 



x
0
toplamda 
notekis, 
1
0


x
to`plamda esa tekis yaqinlashar ekan.

 
3.21-masala. 
Veyershtrass 
alomatidan 
foydalanib, 














1
2
1
ln
1
ln
n
n
n
x
funksional qatorning 
2
0


x
oroliqda tekis 
yaqinlashishini ko`rsating. 

---

225 
 

 
 












1
ln
1
ln
2
n
n
x
x
u
n
 
Berilgan
 
2
0


x
oraliqda quyidagi 
tengsizliklar o`rinli. 
 








.
1
ln
2
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln
2
2
2
2


























n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
x
x
u
n
 
Agar 


1
ln
2
2



n
n
a
n
deb belgilasak, Koshining integral alomatiga 
ko`ra 











1
1
2
1
ln
1
n
n
n
n
n
a
sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi. Unda 
Veyershtras alomatiga ko`ra berilgan funksional qator 
2
0


x
oraliqda 
tekis yaqinlashuvchi. 

4.21-masala. Berilgan ushbu 

 
 










1
2
2
2
2
1
...
4
1
2
1
n
nx
x
x
n
 
funksional qatorning 



x
1
oraliqda tekis yoki notekis 
yaqinlashuvchiligini aniqlang. 

Bu qatorning tekis yaqinlashishini tekshirish uchun 2
0
-punktdagi 
1-teoremadan, ya`ni (10)-tenglikdan foydalanamiz. 
 

 
 









2
2
2
2
1
...
4
1
2
1
nx
x
x
n
x
u
n

 




 

 

,...
3
,
2
,
2
1
...
4
1
2
1
1
1
2
1
...
4
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2





















n
nx
x
x
x
n
x
x
x
va
 
 
 

 
 






























n
k
k
n
nx
x
x
x
x
u
x
S
x
x
x
u
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
...
4
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1






,
1
x
uchun 
 
 
2
2
1
lim
x
x
S
x
S
n
n




va 
   
 



x
S
x
S
x
r
n
n

 
 



      

















n
x
r
Sup
nx
x
x
n
x
2
1
...
4
1
2
1
1
2
1
...
4
1
2
1
1
,
1
2
2
2
 


 







0
lim
,
1
x
r
Sup
n
x
n