X. Norjigitov “Variatsion hisob va optimallashtirish usullari”

Misol-1. (Chapligin masalasi). Gorizontal tekislikda tezlik bilan harakatlanayotgan samolyotning og’irlik markazi qanday yopiq egri chiziq bilan harakat qilsa vaqt davomida soha eng katta yuzaga ega bo’ladi. Shamol tezligi bir xil yo’nalgan va o’zgarmas deb olamiz.

Echish. Shamol tezligi o’q bo’yicha yo’nalgan deb olamiz. o’q bilan samolyot o’qi orasidagi burchak, , og’irlik markazining koordinatalari. Masala

funktsionalning maksimum qiymatini topishga keladi.
Aloqa shartlari

funktsionalning shartsiz ekstremumini topamiz.
Eyler-Logranj tenglamalari:




Integrallanganda ixtiyoriy o’zgarmaslarni o’qlarni parallel ko’chirish natijasida nolga teng deb olsak, bo’ladi.
Natijada

deb olsak, samolyotning harakat tenglamasiga ko’ra

Integrallab tenglikni topamiz.
Demak izlanayotgan yopiq egri chiziq fokusi koordinat boshida, katta o’qi shamol yo’nalishiga perpendikulyar, ekstsenristeti bo’lgan ellipsdan iborat.


Muhokama uchun savollar:
1. Izoperimetrik va Logranj, Mayer, Balts masalalari orasidagi bog’lanishlarni aniqlang.
2. Masalalarning turli xil echish yo’llarini topish.


Nazorat topshiriqlari:
1. Ko’p va bir o’zgaruvchili ekstremal masalalarning farqini ko’rsating.
2. Integral tagidagi funktsiyalarga qanday shartlar qo’yiladi.
3. Ko’p o’zgaruvchili funktsiya uchun Eyler-Logranj tenglamalarini yozing.
4. Klebshning ekstremum uchun zaruriy shartini ayting.
5. Yakobining zaruriy shartini yozing.
6. Xususiy qiymat nima?
7. Xususiy qiymat nima?
8. Xususiy qiymatning karraligi deganda nimani tushunasiz.
9. Qo’shma nuqta nima?
10. Qo’shma nuqtaning mavjud emasligi qanday tekshiriladi?
11. Mors teoremasini ayting.
12. Izoperimetrik masalaning etarli shartini yozing.
13. Kuchaytirilgan Veyershtrass shartini yozing.
14. Logranj masalasini tushuntiring.
15. Mayer masalasini tushuntiring.
16. Balts masalalarining farqini ayting.
17. Logranj masalasini ko’paytirish usulida eching.
18. Mayer masalasini ko’paytirish usulida eching.
19. Balts masalasini ko’paytirish usulida eching.
20. Logranj masalasiga amaliy masala toping.