X. Norjigitov “Variatsion hisob va optimallashtirish usullari”

Muhokama uchun savollar:
1. Shartli ekstremumning zaruriy shartlarining tahlili.
2. Kuchli va kuchsiz ekstremumlarning etarli shartlarini shartlar qo’yilganda o’zgarishini ko’rsatish.


2-asosiy savol uchun dars maqsadi:
1. Logranj, Mayer va Bolts ekstremal masalalarini echish.
2. Yuqoridagi masalalarni taqqoslash.
Identiv o’quv maqsadlari:
1. Logranj, Mayer va Balts masalalarini echadi.
2. Masalalar echimlarini taqqoslaydi.


2-savolning bayoni:
Logranj masalasi

funktsionalga

aloqa shartlari va chegaraviy shartlar bajarilganda, ekstremum qiymat beruvchi bo’lakli-silliq vektor funktsiyani toping.
Bu erda funktsiyalar uzluksiz uchinchi tartibli xususiy tenglamalarga ega.
matritsa, chegara qiymatlarni qabul qilganda sohaga tegishli hamma nufqtalarda rangga ega
matritsaning rangi .
funktsiya uchinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega. Yuqoridagilarga qo’shimcha holda vektor-funktsiyaning koordinatalari uchun quyidagi shart bajarilishi zarur:

matritsaning rangi ikkiga teng (urinmaslik sharti).
Mayer masalasi. aloqa shartini va

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi, sistemadan nuqtada ga ekstremum qiymat beruvchi ni toping.
Mayer masalasidagi funktsiyalarga qo’yilgan talablar Balts masalasidagi kabi.
Balts masalasi (birinchi tuzilishi).

funktsionalga bog’lanish sharti va

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi, bo’lakli-silliq vektor-funktsiya lar ichidan ekstremum qiymat beruvchisini toping.
Qo’yilgan shartlar: va funktsiyalar hamma argumentlar bo’yicha o’lchovli fazodagi ochiq sohada uchinchi tartibli xususiy hosilalarga ega.
matritsa berilgan soha nuqtalarida rangi .
nuqtalar fazosida berilgan o’lchovli sohada va funktsiyalar hamma argumentlar bo’yicha uchinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega.
Berilgan sohada

matritsaning rangi . Bundan tashqari Logranj matritsasidagi urinmaslik sharti bajarilishi kerak.
Balts masalasi (ikkinchi tuzilishi). Parametrlar sistemasi va funktsiyalar ichidan




bog’lanish shartlarini qanoatlantiruvchi

funktsionalga ekstremum qiymat beruvchisini toping.
Balts masalasi (uchinchi tuzilishi). Parametrlar sistemasi va funktsiyalar va funktsiyalardan: quyidagi bog’lanish shartlari bajarilganda


berilgan

funktsionalga ekstremum qiymat beradiganini toping.
Logranj, Mayer, Balts masalalariga ko’paytuvchilar qoidasi.
Logranj masalasi uchun. Logranj masalasida bo’lakli-silliq funktsiya

funktsionalga ekstremum qiymat bersa, uholda noldan farqli o’zgarmas va ko’paytuvchilar mavjudki vektor funktsiya

funktsional shartsiz ekstremum bo’ladi. Bu erda bunda

Mayer masalasi uchun. Agar silliq-bo’lakli vektor-funktsiya Mayer masalasida ekstremum qiymatni bersa, u holda khpaytuvchilar mavjudki shartli ekstremal

funktsional uchun shartsiz ekstremal bo’ladi, bunda



Balts masalasi uchun. Birinchi tuzilishga. Agar bo’lakli-silliq vektor-funktsiya birinchi tuzilishdagi Balts masalasining ekstrem al qiymati bo’lsa, noldan farqli son va funktsiyalar mavjudki, vektor-funktsiya

funktsionalga shartsiz ekstremum bo’ladi, bu erda



Ikkinchi tuzilishda Balts masalasi uchun vektor funktsiya



funktsional uchun shartsiz ekstremum bo’ladi, bu erda

-o’zgarmaslar, -funktsiya.
Uchinchi tuzilgan Balts masalasi uchun, vektor-funktsiya



funktsional uchun shartsiz ekstremum bo’ladi, bu erda

-o’zgarmaslar, -funktsiyalar.
Bu hol uchun Eyler-Logranj tenglamalari quyidagi sodda ko’rinishda bo’ladi.