X. Norjigitov “Variatsion hisob va optimallashtirish usullari”

Qo’yilgan talablar: nuqta sohaga tegishli bo’lib, chekli qiymat qabul qilganda va funktsiyalar hamma argumentlari bo’yicha uzluksiz ikkinchi tartibli hosilalarga ega. Minimum qiymat beruvchi vektorda funktsionalning variatsiyasi chiziqli bog’lanmagan.
Misol-5.1. va nuqtalarni tutashtiruvchi uzunligi bo’lgan egri chiziqlar ichida kesma bilan birga eng katta yuzaga ega bo’lganini toping.
Agar va abtsissa o’qining va nuqtalari bo’lsa, masala funktsionalni quyidagi shartlar

bajarilganda maksimum qiymatini topishga keladi, bu erda .
Ko’paytmalar usuli. Agar bo’lakli-silliq egri chiziq , sohani ichida yotib shartlar bajarilganda ga ekstremum qiymat bersa, u holda shunday o’zgarmaslar mavjudki egri chiziq

funktsionalga oddiy (shartsiz) ekstremalni bo’ladi.
Yuqoridagi misol-5.1. da ko’paytuvchilar usuli qo’llansa

funktsionalning shartsiz ekstremumini topish kerak bo’ladi. Eyler-Logranjning tenglamasi
yoki .
Bunda , desak hosil bo’ladi. Differentsiallasak . Bundan . Ekstremallar tenglamasi: , . Demak ekstremallar oilasi, aylanalardan iborat. Bularning ichidan va nuqtalardan o’tadiganini tanlab olamiz.
1. Klebshning zaruriy sharti. Agar vektor-funktsiya izoperimetrik masalaga shartli ekstremum bersa

funktsionalning ikkinchi variatsiyasi nomanfiy. , bundan esa
(5.1)
tengsizlik ixtiyoriy uchun bajariladi.
2. Yakobining zaruriy sharti. Izoperimetrik masalaning ekstremali

funktsional uchun shartsiz ekstremal bo’ladi.
Agar da berilgan ekstremalning birinchi tartibli -atrofida joylashgan bo’lsa,

Elementlari bo’lakli-silliq funktsiyalardan iborat bo’lib, .

(5.2)
shartlarni qanoatlantirgan funktsional fazoni bilan belgilaymiz. fazoda
(5.3)
funktsionalga ekstremum beruvchi egri chiziqlar



yoki
(5.4)
tenglamani qanoatlantiradi.
(5.4) tenglamaning da nolga teng bo’lgan echimi da ham nolga teng bo’lsa, ning qiymati (5.3) funktsionalning da xususiy qiymati deyiladi. Har bir xususiy qiymatga da eng kamida bitta xususiy funktsiya mos keladi va (5.2), (5.4) tenglamalarni qanoatlantiradi. Har bir xususiy qiymatga tadan ko’p bo’lmagan chiziqli bog’lanmagan xususiy funktsiyalar mos keladi. Chiziqli bog’lanmagan funktsiyalar soniga xususiy qiymatning karraligi deyiladi.
integralning yuqori chegarasi o’zgaruvchi bo’lsa, integrallarda qiymatlar bo’yicha -nchi xususiy qiymat ning funktsiyasi bo’ladi.
tenglamalardan bittasini qanoatlantiruvchi ga ga qo’shma bo’lgan qiymat deyiladi.
2 ning da nomanfiy bo’lishligi uchun, da ga qo’shma bo’lgan nuqta mavjud bo’lmasligi zarur va etarlidir.
ekstremal bo’yicha va bo’lganda ekstremal integralga minimum qiymat berishligi uchun, interval funktsional uchun ga qo’shma bo’lgan nuqtani saqlamasligi zarurdir.
Teorema-5.1. (Mors) -nchi tartibli ekstremal bo’lishligi uchun kesmada joylashgan va nuqtaga qo’shma bo’lgan nuqtalarning karraliar yig’indisi bo’lishi zarur va etarlidir.
Izoperimetrik masala ekstremumining etarli sharti.
Agar egri chiziq Eyler-Logranj tenglamalarining kuchaytirilgan Klebsh shartini va kuchaytirilgan Yakobi shartini qanoatlantirsa, egri chiziq ning kuchsiz atrofi mavjud bo’ladiki, bu atrofda yotuvchi ixtiyoriy egri chiziq uchun tengsizlik bajariladi.
Teorema-5.2. (Kuchli minimumning etarli sharti). egri chiziq izoperimetrik masalaning echimi bo’lib, Eyler-Logranj tenglamasini, kuchaytirilgan Veyershtrass shartini, kuchaytirilgan Klebsh shartini kuchaytirilgan Yakobi shartini qanoatlantirsin, u holda xos ( ) ekstremal bo’lib, atrofidagi har qanday dan farqli egri chiziq uchun

tengsizlik bajariladi.
Bunda kuchaytirilgan Veyershtrass sharti deganda ko’rsatilgan atrof nuqtalarida

tengsizlikning bajarilishi tushuniladi.