X. Norjigitov “Variatsion hisob va optimallashtirish usullari”

Tezkorlik optimal masalasi. Ob’ektni boshlang’ich holatdan oxirgi holatga keltiruvchi boshqaruvlardan. Eng qisqa vaqt ichida bajaradigan boshqaruvni toping.
Masalani dinamik programmalash usulida echish.
Bu holda oxirgi nuqta o’zgarmas deb olinib, sifatida fazoviy tekislikning har xil nuqtalarini qaraymiz. (6.2) ob’ektni nuqtadan nuqtaga o’tkazish uchun ketgan vaqtni bilan belgilaymiz, ya’ni ob’ektni nuqtadan nuqtaga o’tkazish uchun ketgan eng qisqa vaqt .
boshqaruv sohasi ning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. momentda ob’ekt nuqtada bo’lib, boshqaruv asosida harakat qilmoqda. momentdagi fazoviy koordinatalarni va funktsiyalar (6.2) tenglamani qanoatlantiradi:


(6.4)
boshlang’ich nuqtaning koordinatalari oxirgi , ya’ni . moment o’tgach momentda ob’ekt holatda bo’ladi. nuqtadan nuqtaga quyidagi ikkita yo’l bilan etib boramiz. nuqtadan to’g’ridan to’g’ri ga optimal yo’l bilan kelamiz.


Chizma 6.1.

Ikkinchi holda nuqtada momentda kelamiz va vaqt sarflaymiz, nuqta orqali o’tsak vaqt sarflaymiz. dan ga to’g’ridan to’g’ri optimal bo’lganligi uchun unga sarflangan vaqt eng kam bo’ladi:

yoki


(6.5)
da limitga o’tamiz.
(6.6)
Har qanday uchun (6.6) tengsizlik bajariladi, agar boshqaruv optimal bo’lsa tenglik bo’ladi.
Qulaylik uchun tenglikni qanoatlantiruvchi funktsiyani kiritamiz, u holda (6.6) quyidagicha bo’ladi.

Agar boshqaruv optimal bo’lsa,

Bu tenglamaga Bellman tenglamasi deyiladi va dinamik programmalashning metodining asosini tashkil qiladi. Murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasidan va (6.4) tenglikdan foydalanib. Bellman tenglamasini quyidagicha yozamiz.
(6.7)
Dinamik programmalash metodi quyidagi kamchiliklarga ega.
1. optimal boshqaruvdan tashqari funktsiyani ham topish talab qilinadi.
2. (6.7) Bellman tenglamasidagi funktsiyaning xususiy hosilasi mavjud, ya’ni xususiy hosilali differentsial tenglamani echib, maksimum qiymatini topish kerak.
3. Hali noma’lum bo’lgan funktsiya differentsiallanuvchi deb olinadi, amalda chiziqli optimal masalalarida ham funktsiya hamma vaqt differentsiallanuvchi bo’lavermaydi.