X. Norjigitov “Variatsion hisob va optimallashtirish usullari”

Ta’rif-3.2. egri chiziqlar oilasining nuqtadan o’tuvchi egri chiziqqa o’tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientiga maydonini nuqtada og’ishi deyiladi. Yuqoridagi misolda .
Ta’rif-3.3. Agar egri chiziqlar oilasi sohadan tashqarida yotuvchi nuqtadan chiqib, o’zaro kesishmasa va sohani to’la qoplasa, egri chiziqlar oilasi sohada markaziy maydonni tashkil qiladi deyiladi.
Masalan, egri chiziqlar oilsi sohada markaziy maydonni tashkil qiladi, ular (0,0) nuqtadan chiqadi.
Ta’rif-3.4. Agar xususiy yoki markaziy maydonni biror variatsion masalaning ekstremallar maydoni deyiladi.
(3.1.)
funktsional berilgan va egri chiziq (3.1.)ning va nuqtalardan o’tuvchi ekstremali bo’lsin.
Agar ekstremallar oilasi topilgan bo’lib, da ekstremala hosil bo’lsa, ya’ni va ekstremallar hosil qilgan sohadagi maydonning ichida yotsa, ekstremal, ekstremallarning xususiy maydoniga tegishli deyiladi.
Agar nuqtadan chiquvchi ekstremal atrofida shu nuqtadan chiquvchi ekstremallar bog’lashi maydon tashkil qilsa ni saqlovchi markaziy maydon topilgan deyiladi. ekstremallar oilasining parametri sifatida nuqtada oilaning egri chizig’iga o’tkazilgan urinmaning burchak koeffitsienti olinadi.
Misol-1.

funktsionalning bo’lganda xususiy maydonga tegishli bo’lgan ekstremalini toping.
Echish. Eyler-Logranj tenglamasini echib ekstremallar oilasini topamiz. chegaraviy shartlardan foydalanamiz ekstremal . Bu esa -o’zgarmas ekstremallar oilasiga tegishli.
Agar chegaraviy shartni ko’rinishda olsak, bo’lib, orqali hosil qilgan markaziy maydonga tegishli.
Ta’rif-3.5. Tekislikda egri chiziqlar oilasi berilgan bo’lsin.
(3.2.)
sistema yordamida aniqlangan nuqtalarning geometrik o’rniga egri chiziqlar oilasining -diskrimenanti deyiladi. -diskrimenantga, egri chiziqlarning o’tkirlangan, uzel nuqtalari va qoplovchi (ochibayuhie) chiziqlar kiradi.
egri chiziqlar oilasining qoplamasi (ochibayuhie) deb oilaning har bir egri chizig’iga urinib o’tuvchi egri chiziqdir.
Ta’rif-3.6. Agar egri chiziqning yoyi, ni o’zida saqlovchi markazi bo’lgan egri chiziqlar bog’lamining -diskrimenanti bilan dan farqli umumiy nuqtaga ega bo’lsa, nuqta nuqtaga qo’shma deyiladi.
yoyni markazi da bo’lgan markaziy ekstremallar maydoniga tegishli bo’lishligi uchun ga qo’shma bo’lgan nuqtaning yoyda yotmasligi etarlidir. Bunga Yakobining etarli sharti deyiladi. Yakobi shartini analitik ko’rinishda ham yozish mumkin.
(3.3)
funktsional berilgan, chegaraviy shartlar
(3.4.)
Yakobi tenglamasi, shartni qanoatlantiradi.
Agar echim oraliqning yana birorta nuqtasida nolga teng bo’lsa, ga qo’shma nuqta yoyda yotadi. Bu erda nuqtaning koordinati .
Agar bo’lib, nolga teng bo’lmasa da qo’shma nuqta yo’q va ekstremalni dan chiqiuvchi markaziy maydonga kiritish mumkin.
Lejandr sharti. (3.3) funktsionalning ekstremalini ekstremallar maydoniga tegishli bo’lishligi uchun

tengsizlik hamma lar uchun bajarilishi etarli.