3. Birinchi tartibli differensial tenglamalar nazariyasining geometrik masalalarga tadbiqlari Misol

3. Birinchi tartibli differensial tenglamalar nazariyasining geometrik masalalarga tadbiqlari
Misol.
A(α;α) nuqtadan o’tuvchi va quyidagi xossaga ega bo’lgan egri chiziqning tenglamasini tuzing: agar egri chiziqning PM ordinatali istalgan M(x;y) nuqtasidan Oy o’qning T nuqtasi bilan kesishguncha urinma o’tkazilsa, OTMP trapetsiyaning yuzi o’zgarmas bo’lib, ga teng bo’ladi.
Yechilishi. Trapetsiya yuzi *OP formula bo’yicha aniqlanadi. OT=y-xy’ , PM=y va OP=x bo’lgani uchun differensial tenglama quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
( 2y - xy’ ) x = 2
Yoki
y’- y = -
Bu chiziqli tenglama. Uning umumiy yechimini shu formula bo’yicha topamiz:
y = ( - 2 dx + C ) .
bu yerdan
y = ( -2 + C ), yoki y = + C ).
Binobarin,
y = + C .
Umumiy yechimga x boshlang’ich shartni qo’yib ,
C = ni topamiz , y xolda izlanayotgan egri chiziq, temglamasi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
Ordinatasi OP = x - . Differensial tenglama ushbu ko’rinishga ega :
(x - ) y = 4
Yoki
- x =
Bu y argumentining noma’lum x funksiyasiga nisbatan chizizqli differensial tenglama. Umumiy integrtali shu formula bo’yicha topamiz:
x = (-4 dy + C ) yoki x = y ( + C ).
x = 2 da y = -2, demak C = - . Natijada egri chiziqning izlanayotgan tenglamasini ushbu ko’rinishda xosil qilamiz:
3 + 2xy – 4 = 0
Misol . Koordinatalar boshidan o’tuvchi shunday egri chiziq tenglamasini tuzungki, uning normalining egri chiziq istalgan nuqtasidan Ox o’qachcha bo’lgan kesmaning o’rtasi = ax parabolada yotadi.
Yechilishi. Egri chiziqda ixtiyoriy M (x ; y ) nuqta olamiz . Egri chiziqning M nuqtasiga o’tkazilgan normalning Ox o’q bilan kesishish nuqtasi x + yy’ va O koordinatalarga , normal kesmasi MP ning o’rtasi N esa = x + va = koordinatalarga ega. N nuqta = ax parobolada yotganligi uchun uning koordinatalari parobala tenglamasini qanotlantiradi, natijada
)
Yoki
y’ - = -
Differensial tenglama tuziladi. Bu Bernulli tenglamasidir ( n = -1 ). Uni 2yy’ - = -4x ko’rinishda qayta yozamiz va deymiz, mos ravishda 2yy’ = z’ . Tenglama chiziqli ko’rinishga keladi:
- = -4x
Uning umumiy yechimini shu formula bo’yicha yozamiz:
z = ( -4 dx + C )
so’ngra
dx = -
Bo’lgani uchun
z = =
yoki
= 4ax + 4 + C
X = 0 da Y = 0 boshlang’ich shartdan C = -4 ni topamiz. Egri chiziqning izlanayotgan tenglamasi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
= 4ax + 4 ( 1 - ) .