X. Norjigitov “Variatsion hisob va optimallashtirish usullari”

Muhokama uchun savollar:
1. Ekstremallar maydonini aniqlash.
2. Ekstremalning maydoniga tegishlilik shartlarini tahlil qilish.
2-asosiy savol bo’yicha dars maqsadi:
1. Ekstremumning etarli shartini isbotlaydi.
2. Kuchli ekstremum uchun etarli shartini soddalashtirish.
Identiv o’quv maqsadlari:
1. Ekstremumning etarli shartini isbotlaydi.
2. Ekstremum shartini soddalashtiradi.
2-savol bayoni:
1. Veyershtrassning etarli sharti.
funktsional ekstremalda ekstremumga ega bo’lsin. Ekstremum qanday harakterda ekanligini tekshirish uchun

ottirmaning ishorasi aniqlanadi. Bunda egri chiziq ekstremalning kuchli yoki kuchsiz atrofiga tegishli. Orttirmani quyidagicha yozamiz.
(3.5)
Bu erda maydon uchun Veyershtrass funktsiyasi
(3.6)
funktsional ekstremallar maydonining oshig’i.
Veyershtrassning etarli sharti: Agar ekstremum mavjud deb olingan chiziq maydonga tegishli bo’lsa, maydondagi hamma nuqtalarda va ning chekli qiymatida Veyershtrass funktsiyasi nomanfiy (nomusbat) bo’lsa, chiziqda

funktsional kuchli minimum (maksimum)ga erishadi.
(3.6) formula Gilbert integralidan topiladi:

Bu erda maydonga tegishli va maydonning oshig’i.
Misol-1. funktsionalning ekstremumini toping.
Echish. Eyler-Logranj tenglamasi -o’zgarmas chegaraviy shartlarga mos keluvchi ekstremal .
Lejandr sharti ekstremalda bajariladi. Ekstremal maydonga tegishli. Buning og’ishi . Bu maydonda ekstremallar faqat (0,0) nuqtada kesishgani uchun, boshqa kesishish nuqtalari bo’lmaganligi uchun maydonda Yakobi sharti bajariladi.
Veyershtrass funktsiyasi quyidagicha bo’ladi:

ni shunday tanlash mumkinki musbat va manfiy bo’lishi mumkin, ya’ni ishorasini saqlamaydi shu sababli kuchli minimum yo’q.
Misol-2. funktsionalni fazoda ekstremumini toping.
Echish. Ekstremallari to’g’ri chiziqlar chegaraviy shartlarni chiziq qanoatlantiradi. Bu ekstremalni maydonga kiritish mumkin.
Veyershtrass funktsiyasi kvadrat qavs ichidagi ifoda nolga tng bo’lishi mumkin va funktsiya qiymatdan o’tganda ishorasini almashtiradi. va ixtiyoriy da

da ishorasini almashtiradi. ning ga yaqin qiymatlarida tekshirilayotgan ifoda bo’lganda musbat, da manfiy. Demak bo’lsa, , kuchsiz minimum mavjud bo’lganda kuchli maksimum mavjud. ekstremum mavjud emas.
Eslatma. Ekstremalning nuqtalarida ning ba’zi qiymatlarida funktsiya teskari ishoraga ega bo’lsa, kuchli ekstremumga erishmaydi.