Высшее профессиональное образование

Свойство 1. Пусть 5-сплайн построен на неубывающей по­
следовательности т л-2 узлов t_h t_M, ..., t_i+m+i. Тогда 5-сплайн N/"(f) от­личен от нуля только в области ?, < / < t_i+m+i и Nf"(f) = 0 при t < t,- и при t > t_i+m+l. Действительно, как только t < между точками /, и /,_+га+1 усе­ченная функция примет вид ст,„(г) = (z ~ ?)"' и в силу того, что (z - t)^m является полиномом степени, меньшей т + 1, любая разделенная раз­ность (т + 1)-го порядка, построенная по этому полиному, равна нулю. Как только t > t_i+m+u разделенная разность равна нулю в силу того, что между узлами t, и /,_+т+] ст„,(г) = 0. Только при t, < t < Г,_+т+| разделенная разность ст,„[/,, t_M,..., /,_+т+| | отлична от нуля. Таким образом, 5-сплайны являются локальными функциями, принимающими ненулевые значения на отрезке, содержащем узлы построения 5-сплайна.

Свойство 2. N,^m(t) > 0, т.е. 5-сплайны при любых значениях пара­метра принимают неотрицательные значения. Это следует из свойства 1и рекуррентного соотношения (1.48) при неубывающем расположении узлов.
Свойство 3. Пусть задана бесконечная (или достаточно длинная) неубывающая последовательность узлов г, и на каждых т + 2 подряд расположенных узлах построен 5-сплайн т - го порядка. Покажем, что для любого /, < 1 < t_M отличны от нуля только т + 1 5-сплайнов, а имен­но, Nj^m_m(t), Nn\ _m(0, ■■■, и их сумма равна единице. Дей­ствительно, все 5-сплайны Nf(t), где j < i-m, равны нулю, так как построены на узлах, где a_m(z) = 0; все 5-сплайны Nj”(t), где j > i + 1, равны нулю, так как построены на узлах, где a_m(z) = (z - t)^m является полиномом степени меньшей т + 1. Таким образом, сумма всех 5-сплайнов при t,< t < t_M зависит от конечного числа 5-сплайнов, а именно:
XA74/)= х ^N7«)- (1-51)
j J-i-m
Если воспользоваться определением разделенной разности (1.37), то 5-сплайн (1.44) можно записать в виде
Nj^m(t) = <3_m[tj₊\, t_j+2, -., t_J+m+1] - ojtj, t_J+b ..., t_J+m\. (1.52)
Используя равенства (1.51) и (1.52), найдем сумму всех 5-сплайнов при t, _M

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2
fHib 13
«)-£■ ^ р„ 15
... -h 18
+ q,₊i(-^² + w³)(t_hi - h) = a₀(^)p, + «i(^)p,₊i + Po(^)(^₊i - Oq, + 18
г, = 27
<{ 29

В (1.53) было использовано, что o_m\t_M, t_i+2, ..., t_i+m+,] = 1 как коэффи­циент при наивысшей степени аргумента полинома (z - t)^m, которым описывается усеченная степенная функция на открытом интервале t_M < _i+m+1. При этом на интервале /,•_ _т усеченная степенная функ­ция равна нулю, следовательно, ее разделенная разность о,,,!/, _т, t_M. ..., ?,] = 0. Так как участок t,< t_M был выбран произвольно, аналогичное равенство выполняется для любого другого участка. Таким образом, при любом t для суммы всех 5-сплайнов справедливо равенство
2>"(0 = 1. (1-54)
j
Соотношение (1.54) 5-сплайнов аналогично соотношению (1.18) для базиса Бернштейна.
Таким образом, при любом фиксированном параметре t совокуп­ность всех ненулевых функций 7V/"(0 представляет собой разложение единицы.
Свойство 4. Для неубывающей последовательности узлов t_h t_M, ..., t_i+m+1 5-сплайн вычисляется с помощью рекуррентного соотношения
_Nm (_?) ₌ ДГ тЧ _{(7) +} ДГШ-1 _(/)> (j 55)
^i+m+\ ~Ч+\ h+m~*i
начиная с ^-сплайнов нулевого порядка
₍₁₅₆₎
[О, в противном случае.
Соотношение (1.55) следует из рекуррентной формулы Кокса—Де Бура (1.48) при подстановке в нее соотношений между 5-сплайнами и соответствующими ненормированными 5-сплайнами
Л/"(/) = (t_i+m„ - /,) (1.57)
Свойство 5. Производная 5-сплайна т-го порядка выражается через 5-сплайны (т - I )-го порядка.
Для доказательства этого утверждения продифференцируем 5-сплайн, построенный на неубывающей последовательности узлов t_h t_M, ..., /_I+m+| и представленный в виде (1.52):
dN?(t) ₌ da _m\t_i+ut_i+2, -,/_<ЧвЫ] dajt
iу ti+1> '''~ 0• n: 1 dt dt dt
Подставив в последнее выражение производные по t усеченной сте­пенной функции
dt
получим
dN™(t)
—±— = [t_M,t_i+2,..., t_i+m^\ + rna_m_\\t_n t_M,..., t_i+m\ =
dt
= (t) + тМ™~^х (t) =
= iV”r'(0 + ———A^r,^m-^|(0- (1-58)
/ _ / / _ t
^li+m+1 /+1 */+w */
Аналогично получим, что производная ненормированного 5-сплай­на /и-го порядка выражается через ненормированные 5-сплайны (т -

• 
  1)-го порядка формулой
  

dM™(t) _ МГ'(*)~
tj+rя-t-l ^_ ti