Высшее профессиональное образование

_t __t , __t ’ _t -t t -t

1. 
   j+\ j-2 У+1 ¹ i-1 ¹ j+1 ¹ j-2 ¹ j+\ ¹ j-\
   

или после подстановки t_2i+2 = /2/+3 ^{= х}ь * ⁼ 1» 2, n— 1,
N
■X:
\_i(x_i)= ^Xm~^X‘ ■ Nl_+l(_Xl) =
*7+1
Из (1.83) следует, что для каждого значения параметра t = tj = tj_._b j = 5, 6, ..., 2n + 1, отличен от нуля только один 5-сплайн второго по­рядка:
0+1 ‘у-i
или после подстановки t_2i+2 = t₂M = x_h i = 1, 2, ..., n - 1: N\_M(x,) = 1. Непосредственной подстановкой проверим, что при значениях парамет­ра t = x_h i = 0, 1, ..., п, 5-кривая имеет радиус-вектор а, и производные q,. Действительно,
г(х₀) = <Уо(хо)р„ = а₀; г(х,) = TV³_2/(x,)p₂,- + ЛГ³₂,₊₁(х,.)р_2/+, = а,-; г(х„) = W³₂„₊,(x„)p₂„₊, = а„ и в соответствии с (1.64) и (1.84)
^(x₀) = 37V,²(x₀)^Pl ~Р° =q₀;
at 14 t1
^(х,.) = 3//_2|.₊,²(х,.)^Р2;+|~^Р2'' = q,;
hM~hM
^(х_я) = ЗАГ_2я+,²(х„)^Р2'’^+|~^Р2'’ = q„.
dt hn₊A~hn₊\
На рис. 1.42 приведена 5-кривая третьего порядка, совпадающая с со­ставным сплайном Эрмита, построенным по четырем точкам (п = 3).
На рис. 1.43 приведен набор 5-сплайнов 5-кривой третьего порядка, совпадающей с составным сплайном Эрмита (см. рис. 1.42).

Для циклически замкнутого сплайна Эрмита последовательность уз­лов 5-кривой будет содержать только двукратные узлы. Контрольные точки найдем по формулам (1.84). Число контрольных точек 5-кривой будет равно удвоенному числу заданных точек сплайна.
Рис. 1.42

No N$

Рис. 1.43



Рассмотрим NURBS-представление кривой второго порядка. Ра­нее было показано, что кривые второго порядка могут быть представ­лены в виде рациональных кривых Безье. 5-кривые являются обобще­нием рациональных кривых Безье, поэтому некоторая часть любой кривой второго порядка может быть представлена в виде 5-кривой вто­рого порядка, построенной по трем точкам на последовательности узлов
to = ti = t₂ < /3 = /4 = /5.
Циклически замкнутую кривую второго порядка полностью можно представить в виде 5-кривой, имеющей кратные узлы. На рис. 1.44 при­ведены эллиптическая 5-кривая второго порядка и ее контрольная ло­маная.





Она построена по точкам р₀, р_ь р₂, Рз, р₄, р₅, р₆, р₇. Ее контрольная ломаная представляет собой прямоугольник, описанный около эллип­тической кривой. Веса контрольных точек равны: w₀ = w₂ = ил, = w_b = 1, W\ = и)} = — w-i = cos (л/4). Последовательность узлов имеет вид /₀ = -1, t\ ⁼ t₂ — 0, /3 ⁼ /4 — 1, t$ = tf, ⁼ 2, t-j ⁼ tfi ⁼ 3, /д - ^|0 — 4, /]] — /)2 ⁼ 5. Если мы хотим, чтобы параметрическая длина кривой, показанной на рис. 1.44, была равна 2л, то вместо указанной выше последовательности узлов можно использовать последовательность: t₀ = -л/2, t, = t₂ = 0, t_} = t₄ = = л/2, t₅ = t₆ = л, t₇ = t_s= 'in/1, ц = t_l0 = 2л, t_n = t_x2 = 2л + л/2. 5-кривая может иметь изломы в точках с кратными узлами.
Н
Л'о² NI /v₄² Nl yv₀²





Рис. 1.45

а рис. 1.45 приведен набор 5-сплайнов 5-кривой второго порядка, совпадающей с эллипсом и показанной на рис. 1.44.

15. 
    Кривые, построенные на базе кривых
    

Кривые могут быть построены на базе других кривых. Рассмотрим продолженную, усеченную, эквидистантную, репараметризованную, ссылочную кривые и кривую перехода. Кривую, на основе которой стро­ится новая кривая, будем называть базовой кривой. В качестве базовой кривой не должна использоваться кривая того же типа, что и создаваемая кривая.