Высшее профессиональное образование

г„ =-
ди до ди² ди² диди диди
для частных производных поверхности по ее параметрам. Векторы ча­стных производных обозначим численными нижними индексами, соот­ветствующими номеру параметра, по которому выполнено дифферен­цирование. Далее будем предполагать, что координатные функции Г|(и, v), г₂(и, и), г₃(и, и) имеют непрерывные производные по каждому параметру любого порядка, который нам потребуется.
Точку поверхности будем называть обыкновенной, если в этой точке не обращаются в нуль длины частных производных поверхности по обо­им параметрам и частные производные поверхности не параллельны. В противном случае точку поверхности будем называть особой.
В обыкновенной точке по векторам г, и г₂ можно построить плос­кость. Плоскость, проходящая через точку поверхности и параллельная векторам г, и г₂ в этой точке, называется касательной плоскостью по­верхности.
Если зафиксировать один из параметров, а другой изменять в неко­торых пределах, то мы получим кривую, которая лежит на поверхности. Такие кривые называют координатными линиями поверхности. Будем называть и-линиями кривые, вдоль которых меняется только параметр и, а v-линиями — кривые, вдоль которых меняется только параметр v. Производные г, и г₂ поверхности представляют собой векторы, каса­тельные к соответствующим координатным линиям.
Произвольную кривую на поверхности можно построить, если ввести зависимость параметров поверхности и и v от некоторого общего для них параметра, например, и = u(t), v = u(t). Параметры поверхности и и и являются координатами двумерной точки в некоторой выбранной декартовой системе координат. Для обозначения столбца координат то­чек и столбца компонент векторов в двумерном пространстве будем использовать строчные буквы латинского алфавита, выделенные полу­жирным наклонным шрифтом, например
и
и

Двумерной кривой будем называть векторную функцию



скалярного параметра /. изменяющегося в пределах t_min < t < r_max. Пусть координаты u(t). v(t) точки двумерной кривой являются однозначными непрерывными функциями параметра Л Двумерные кривые, так же как и трехмерные, могут быть периодическими и циклически замкнутыми.
Двумерные кривые могут быть построены с помощью аналитических функций, но набору точек, на базе других двумерных кривых. Двумерные кривые будем строить методами построения трехмерных кривых с гой разницей, что вместо трехмерных объектов будем использовать двумер­ные точки, векторы и базовые кривые.
Кривая на поверхности описывается зависимостью
ф
(2.3)
(ОМО) r(/)= r₂(u(t)MO) r_}(u(t),v(t))
Производная кривой на поверхности
лежит в касательной плоскости, построенной в рассматриваемой точке.
Метрические свойства поверхности выражаются через метриче­ские свойства кривых на ней. Исследуем метрические свойства поверх­ности в малой окрестности некоторой ее точки, определяемой пара­метрами и и и. Сместимся из рассматриваемой точки по некоторой кривой на поверхности в бесконечно близкую ей точку, определяемую параметрами и + du, v + do, и вычислим длину дуги. С точностью до слагаемых, линейно зависящих от бесконечно малых величин, длина дуги равна
ds = |г, du + r₂dv\.
Квадрат длины бесконечно малой дуги равен
d
(2.4)
s² = г, ■ г,du² + 2г, • rdu du + г, ■ r₂du². Введем обозначения
gп = г, • г,; g_n =£_2| = г, г₂ = г_гг,;я₂, = г_:-г,.
Тогда квадрат длины бесконечно малой дуги кривой на поверхности будет определяться формулой
ds² = g\\du² + 2g_V2dudu + g₂₂dv².
Выражение в правой части является квадратичной формой диффе­ренциалов du и do и называется первой квадратичной формой поверх­ности. Величины g\\(u,и), g\₂(u,v), g_2i(u,v), g₂₂(u,u) определяют метриче-ские свойства поверхности и называются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности.
С помощью первой квадратичной формы можно вычислить длину дуги кривой на поверхности. Пусть задан участок кривой на поверхно­сти и = u(t), v = v(t), t\ < t < t₂. В пределе сумма бесконечно малых длин дуг ds даст длину соответствующего участка кривой





Первая квадратичная форма поверхности позволяет вычислять углы между кривыми на поверхности. Пусть имеются две кривые на поверх­ности, проходящие через общую точку, определяемую параметрами и и V. Обозначим через du и ^дифференциалы параметров поверхности, соответствующие бесконечно малому смещению вдоль первой кривой на поверхности, а через 6м и 5у — дифференциалы параметров поверх­ности, соответствующие бесконечно малому смещению вдоль второй кривой на поверхности. Эти бесконечно малые смещения определятся векторами
dr = r^du + r₂du, Sr = г, 5м + г ₂8и.
Найдем косинус угла ф между кривыми на поверхности как скалярное произведение касательных к ним векторов, деленное на произведение длин этих векторов:





g\ | du8u + g_ndu8v + g_2[dvbu + g₂₁dvbv
•J(gt\dudu + 2g_ndudu + g₂₂dudv)(g_l ,6m8m + 2g_]25u5v + g₂₂ budu)

Это выражение позволяет найти угол между координатной ы-линией и v-линией в рассматриваемой точке поверхности, если положить в ней du 0, du = 0, 5и = 0, * О,

costp • =.
>22

Если g,₂ = 0, то координатные линии в рассматриваемой точке орто­гональны.
Первая квадратичная форма используется и для вычисления площа­ди поверхности. Рассмотрим в точке, определяемой параметрами и и у, бесконечно малый криволинейный четырехугольник на поверхности со сторонами du и dv. Площадь четырехугольника в первом приближении равна