Высшее профессиональное образование

ds²kn • m = b_udu¹ + 2b_ndudv + b₂₂dv².
Подставив квадрат дифференциала длины дуги кривой, выраженный с помощью первой квадратичной формы, получим
, _ b_udu² + 2b_ududu + b₂₂dv²
/сп • m — - —.
g\\du^L + 2g_ndudu + g₁₂dv^l
Геометрический смысл последнего соотношения будет более понятен, если рассмотреть нормальное сечение поверхности — кривую пересече­ния поверхности и плоскости, проходящей через нормаль поверхности и касающейся кривой на поверхности. Правая часть последнего равен­ства зависит только от положения рассматриваемой точки и направления кривой на поверхности, определяемого отношением du к dv. Следова­тельно, любая кривая на поверхности, проходящая через рассматривае­мую точку и имеющая общую касательную с рассматриваемым нормаль­ным сечением, будет иметь одно и то же значение Агп ш, несмотря на то, что у нее другая кривизна. Нормальное сечение лежит как на поверх­ности, так и на секущей плоскости, поэтому его главная нормаль также лежит в секущей плоскости и, следовательно, для нормального сечения |n m| = 1. Поэтому из всех кривых на поверхности, проходящих через рассматриваемую точку и имеющих в ней общую касательную, нормаль­ное сечение имеет наименьшую кривизну, равную
b_udu² + lb_ndudu + b₂₂du²
g, \ du² + 2g_ndudu + g₂₁dv²
Кривизна нормального сечения называется нормальной кривизной поверхности в заданной точке в заданном направлении.
Угол между нормалью поверхности и главной нормалью кривой на поверхности равен углу между плоскостью нормального сечения и со­прикасающейся плоскостью кривой. Если известна кривизна нормаль­
ного сечения, то можно определить кривизну кривой на поверхности, касательной к этому нормальному сечению, при условии, что известен угол между нормалью поверхности и главной нормалью кривой. Данный факт констатирует следующая теорема Теорема Менье. Радиус кривиз­ны р = 1 /к в заданной точке кривой на поверхности равен произведе­нию радиуса кривизны р,„ = 1/ц соответствующего нормального сече­ния в этой точке на косинус угла между нормалью поверхности и главной нормалью кривой:

• 
  = —cos(n • m). k (i
  

Е
где через ц„ обозначена нормальная кривизна поверхности в н-направ- лении.
Аналогично нормальная кривизна поверхности в ^-направлении

сли нормальное сечение касательно к координатной и-линии, то dv- 0 и
В заданной точке поверхности можно построить множество нормаль­ных сечений, которые отличаются направлением, определяемым отно­шением du к dv. Направление нормального сечения, кривизна которого равна нулю, называется асимптотическим направлением в рассматри­ваемой точке. В каждой точке поверхности существует не более двух асимптотических направлений, если не считать те случаи, когда в точке все коэффициенты второй квадратичной формы равны нулю.
Мы рассмотрели проекцию вектора кривизны кп кривой на поверх­ности на нормаль поверхности т. Теперь рассмотрим оставшуюся часть вектора кривизны — его проекцию на касательную плоскость, равную
h = An - ш (&п ш).
Длину вектора h называют геодезической кривизной кривой на по­верхности. Для нормального сечения h = 0. Если построить ортогональ­ную проекцию на касательную плоскость кривой на поверхности, то кривизна этой проекции в рассматриваемой точке будет равна длине вектора h. Нормальная кривизна является характеристикой поверхности, а геодезическая кривизна — характеристикой кривой на ней.

2. 
   Аналитические поверхности
   

Аналитическими поверхностями будем называть поверхности, координаты которых в некоторой локальной системе координат можно
описать с помощью аналитических функций, не используя точки, век­торы, кривые и другие поверхности.
Для аналитических поверхностей используются локальные системы координат, в которых поверхности имеют канонический вид. Построим локальную декартову систему координат с началом в точке р и базисны­ми векторами i_x, i_y, i_r Поверхность, координаты которой в локальной системе координат равны соответственно х{и,и), y(u,v), z(u,u), будет описываться векторной функцией
г (и,и) = р + х(и,и) i_x + у(и,и) iy + z(u,v) i_r (2.6)

Пусть Pi — координаты начала р локальной системы координат; х, — компоненты базисного вектора i_x; у, — компоненты базисного вектора \_у\ ZI — компоненты базисного вектора i_z, i = 1, 2, 3. Тогда аналитическая поверхность будет представлять собой функцию

Г\{и,и)		Р\
г2(и,и)	=	Pi	4-
г}(и,и)		.Рз_

х(и,и) У (и, и) z(u,u)

УI
Уг
Уз

Zi
г₂
г₃

Координаты точки поверхности (2.6) равны
Г,(м, V) = Pi + х(и, v)Xi + у(и, и)у, + z(u, u)z,.
При изменении положения или ориентации подобным образом опи­санной аналитической поверхности изменяются координаты начала местной системы координат и ее базисные векторы, а аналитические функции поверхности остаются неизменными, сохраняя канонический вид. Рассмотрим примеры аналитических поверхностей.
Коническую поверхность опишем векторной функцией
г (и,и) = р + {г + hv tg y)(cos ui_x + sint/i,) + hui_z, ие[0, 2л], ue[y_min, iwh
где г — радиус одного из оснований конуса; h — длина конуса; у — угол между образующей и осью конуса.
Начало локальной системы координат мы расположили в центре од­ного из оснований конуса, базисный вектор \ направили вдоль оси по­верхности. Коническая поверхность является периодической по первому параметру и усечена по второму параметру. Круговой конус показан на рис. 2.1.
Если угол у положить равным нулю, то получим цилиндрическую поверхность.