Высшее профессиональное образование

Кинематическую поверхность построим, используя подвижную декартову прямоугольную систему координат, связанную с направляющей кривой g(v). Ее начало _Ро расположим в текущей точке направляющей кривой. Первый базисный вектор i, = g'/|g'| подвижной системы коор­динат направим по касательной к направляющей кривой, второй базис­ный вектор i₂ построим ортогонально первому, а третий базисный вектор i₃ = ij х i₂ пусть образует с первым и вторым базисными векторами правую тройку векторов.
Базисный вектор i₂ направим параллельно вектору
d₂(y) = d-(i,.d)i„ (2.10)
где d — некоторый вектор, который не параллелен касательной к на­правляющей g{u) ни в одной ее точке.
Вектор d₂(i>) представляет собой составляющую вектора d, перпен­дикулярную вектору i,. Вектор d₂(y) никогда не равен нулю, так как м

ы


предполагаем, что вектор d никогда не параллелен вектору ij. Будем считать, что для направляющей кривой существует такой вектор d, ко­торый никогда не параллелен касательной к кривой. Подвижная систе­ма координат является функцией параметра v направляющей кривой
Po(«>) = g(o), (2.11)
i|(y) = r^7T, >2(^У) = ГТ7> *з(у) = >1^Х*2.
I g I 1<Ы
da
где d₂ определяется равенством (2.10), ag’ = —.
dv
Для вычисления радиуса-вектора точки кинематической поверхности построим матрицу
A(y) = [i,(y) i₂(f) i₃(y)]> (2.12)
столбцы которой составлены из компонент базисных векторов подвиж­ной системы координат. Матрица А (и) является матрицей преобразова­ния координат радиуса-вектора точки из подвижной системы координат в глобальную и зависит от параметра направляющей кривой.
Запомним положение образующей кривой с (и) в подвижном каса­тельном базисе в начале направляющей и будем сохранять его при дви­жении вдоль направляющей. Радиус-вектор точки образующей кривой в подвижной системе координат при v = i;_min равен
х(г/, u_min) = А^ч(у_т1п) • (с(и) - g(i>_min)),
где А^Уцц,,) — матрица преобразования координат радиуса-вектора точки из глобальной системы координат в подвижную, вычисленную для начальной точки направляющей кривой. При движении вдоль направ­ляющей кривой подвижный касательный базис меняет свое положение и ориентацию в пространстве и увлекает за собой жестко связанную с ним образующую кривую. Вектор х(ы, i>_min) выражает положение точки образующей относительно точки на направляющей кривой в подвижном касательном базисе, которое сохраняется для произвольного параметра V. Переходя из подвижной системы координат в глобальную при текущем параметре v, получим радиус-вектор точки на кинематической поверх­ности
г(ы, и) = g(и) + A (v) -х(и, v_mm),
Таким образом, радиус-вектор кинематической поверхности опишем векторной функцией
г (и, v) = g(u) + М(у) • (с (и) - g(t>_min)), (2.13)
где М(г;) — матрица поворота текущего подвижного базиса относитель­но его начального положения.Эта матрица вычисляется по фор­муле
М



Рис. 2.7
(у) = А(и) ■ A^_1 (u_min). (2.14)
В начале направляющей кривой матрица M(t;_mjn) равна единичной матрице.

Для вычисления производных радиуса-вектора кинематической поверхности нужно вычислить про­изводные матрицы М(и), что в свою очередь сводится к вычислению производных базисных векторов i,(i>), i₂(f), i₃(t>). Например,
di_L dv g
Ig’L

₌ g_ Ig’l
dh_
dv

g_
|g'

ii =

g^-’^- ! di| I g'l dv

g_
|g'

г-2 i

(2.15)

d и |g'|

Из (2.15) следует, что для вычисления частных производных второго порядка радиуса-вектора кинематической поверхности требуются про­изводные радиуса-вектора направляющей кривой третьего порядка.
Замкнутость кинематической поверхности по параметру и совпадает с замкнутостью образующей кривой c(v), а замкнутость поверхности по параметру v — с замкнутостью направляющей кривой g(w). Кинемати­ческая поверхность приведена на рис. 2.7.
При неудачном сочетании образующей и направляющей кривых по­верхность сдвига и кинематическая поверхность могут пересекать сами себя.

4. 
   Поверхности, построенные на семействе кривых
   

Рассмотрим построение поверхностей на основе совокупности не пересекающих друг друга кривых с,(и), i = 0, 1, ..., п. Путем изменения параметризации (1.88) приведем все кривые к одной параметрической длине, так чтобы область изменения параметра каждой кривой лежала в пределах от и_т[п до м_тах. Совокупность не пересекающих друг друга кривых, имеющих одинаковую параметрическую длину, назовем семей­ством кривых. Пусть первый параметр поверхности г(н, v) совпадает с общим параметром кривых. Для второго параметра поверхности вы­берем возрастающую последовательность значений v_t и поставим ей в соответствие семейство кривых с,(н), / = 0, 1, ..., п. Если все кривы

е
семейства циклически замкнуты, то созда­ваемая поверхность будет циклически замкнута по первому параметру.
Л инейчатая поверхность строится на семействе из двух кривых и представляет собой геометрическое место отрезков пря­мых, соединяющих соответствующие точки кривых семейства. Пусть заданы две кри­вые с₀(м) и С|(м). Линейчатую поверхность опишем векторной функцией
г (и, и) = (\ - и) с ₀(м) + V C|(W). (2.16)
На рис. 2.8 приведена линейчатая по­верхность. Рис. 2.8
Секторной поверхность является ча­стным случаем линейчатой. Она получается из линейчатой поверхности

16. 
    , если одну из кривых, например с,(м), заменить точкой р. Радиус- вектор секторной поверхности опишем формулой
    

г (и, и) = (\ - и) с „(и) + v р; v < 1.
Если кривая с₀(м) циклически замкнута, то секторная поверхность также циклически замкнута по первому параметру. Точки поверхности при и = I являются особыми, так как для них частная производная по первому параметру радиуса-вектора поверхности равна нулю.
Построим на семействе кривых с,(/,), i = 0, 1, ..., п, поверхность ана­логично построению по семейству точек кривой Лагранжа (1.9). Выберем возрастающую последовательность значений второго параметра v_h при которых поверхность г(м, и) должна совпасть с кривыми с,(и). Заметим, что форма поверхности зависит от значений u_h i = 0, 1, ..., п.