Высшее профессиональное образование

Y_tNj^c(u)N!^l(v)uj_ip_i г (и, v) = , (2.40)
±N^k(u)N,^k(v)w_t
1=0
где N^k(u) и N_t^k(u) — В-сплайны к-го порядка; р„ i = 0, 1, ..., п, — кон­трольные точки; wi — их веса. Поверхность (2.40) может иметь уникаль­ные 5-сплайны N,^k(u) и N,^k(v) для каждой контрольной точки, так как могут быть построены на уникальных последовательностях узлов. По­верхность (2.40) называют Т-сплайном, или Т-поверхностью.
Для описания последовательностей узлов 5-сплайнов в области оп­ределения параметров поверхности (2.40) построим сетку, состоящую из ребер и вершин. На рис. 2.21—2.23 приведены фрагменты сетки в об­ласти параметров Т’-поверхности. Каждая ячейка сетки должна иметь прямоугольную форму. Стороны ячейки могут быть составлены из не­скольких ребер, но длины противоположных сторон каждой ячейки должны быть равны. Так, для длин ребер ячейки, расположенной в цен­тре рис. 2.21, должны выполняться равенства: и, + и₂ = и_ъ + ы₄ + м₅, и, =
= U₂ + Vy
С вершинами сетки ассоциируем контрольные точки поверхности.
Когда сетка Т’-поверхности построена, последовательность узлов для 5-сплайнов N,^k(u) и Nj^k(v) i-й контрольной точки найдем следующим образом. Через /-й узел сетки проведем две прямые вдоль параметри­ческих направлений — горизонтальную и вертикальную. Для последо­вательности узлов 5-сплайна !V^k(u) возьмем к + 2 точки пересечения горизонтальной прямой с вертикальными ребрами сетки. Для последо­вательности узлов 5-сплайна N^k(u) возьмем к + 2 точки пересечения вертикальной прямой с горизонтальными ребрами сетки. Пусть к/2 узла последовательности лежат до г-й вершины сетки, а остальные к + + 2 - (к/2) узла — начиная с г-й вершины сетки. На рис. 2.22 серыми штриховыми линиями показаны области ненулевых значений 5-сплай­нов пятого порядка А^г?(и) и 7V/(t0 /-й контрольной точки Г-поверх­ности.
Если Г-поверхность циклически не замкнута и с какой-то стороны от /-й вершины сетки отсутствует необходимое количество пересечений, то крайний узел будем делать кратным. Для контрольной точки, лежащей на краю сетки, ассоциированная вершина сетки будет входить в после­довательность узлов несколько раз. На рис. 2.23 кратностьу-го узла в последовательности узлов 5-сплайна пятого порядка N/(u) равна че-
U 3 «4 «5
"3
U2
«

2тырем, а кратность /с-го узла в после- ' довательности узлов 5-сплайна пято­го порядка Nf(u) — трем.
Ц
УI I I t
иклически не замкнутая Т-по- - верхность не проходит через крайние контрольные точки. _
Сетка в области параметров может быть построена и для 5-поверхности.
Она представляет собой регулярную прямоугольную решетку. Как правило,
Г
Рис. 2.23
-поверхность строят путем модифи- - кации /?-поверхности. Модификация может выполняться или путем вставки новых контрольных точек в 5-поверх­ность, или упрощением 5-поверхно­сти путем удаления контрольных точек и изменением положения остав­шихся контрольных точек.
На рис. 2.24 приведена 5-поверхность третьего порядка по обоим ко­ординатным направлениям и ее контрольные точки. 5-сплайны крайних точек поверхности простроены на последовательностях из пяти узлов, крайние три из которых совпадают, поэтому поверхность не проходит через крайние контрольные точки. В средней части поверхности требу­ется локальное сгущение контрольных точек, которое влечет увеличение контрольных точек во всех средних рядах и колонках сетки. Сетка в об­ласти определения параметров рассматриваемой В- поверхности пред­ставляет собой регулярную прямоугольную решетку, каждой вершине которой соответствует контрольная точка. Сетку 7-поверхности получим из сетки 5-поверхности путем удаления некоторых ребер и вершин.







Рис. 2.25



На рис. 2.25 приведена Г-поверхность, полученная упрощением 5-по­верхности, изображенной на рис. 2.24.
При упрощении 5-поверхности ее форма может меняться. Для ми­нимизации изменения формы поверхности используются различные методы. Пусть требуется построить /’-поверхность, аппроксимирующую некоторую поверхность, радиус-вектор которой известен и описывается векторной функцией b(w,i>). Положение контрольных точек и их веса поверхности (2.40) найдем из условия минимума функции
\ 2
Y_jNj^c(u)Nj^c(u)w_ip_i
Ь(м, и)
/
dudv.

ЧЧРо
=0
РИ>0,
<= о
Интегрирование можно заменить суммированием значений интегри­руемой функции при некоторых выбранных значениях параметров и я и. Условие минимума функции даст систему уравнений, из решения кото­рой получим координаты контрольных точек и их веса Г-поверхности.

9. 
   Поверхности треугольной формы
   

Рассмотрим поверхности, которые имеют треугольную форму и тре­угольную область определения параметров. Для треугольных областей в двумерном пространстве удобно использовать барицентрические ко­ординаты.
Пусть в двумерном пространстве параметров и и у поверхности вы­брана декартова прямоугольная система координат. Пусть в этой систе-ме заданы три точкир_а = [и_аи_а\\р_ь = [м_Ау_А]^т и р_с= [м_с^ус]^т> ^не лежащие на одной прямой (рис. 2.26).
П



Рис. 2.26
оложение любой другой точкир = [uv]^т можно описать с помощью точек р_а, р_ь, р_с равенством
р = ар_а + Ьр_ь + ср_с, (2.41)
г
(2.42)
де коэффициенты а, Ь, с определены с точ­ностью до множителя. Для полной опреде­ленности потребуем, чтобы их сумма была равна единице:

а + b + с = 1.

Значения коэффициентов а, Ь, с, соответствующие декартовым ко­ординатам и и и, найдем из системы уравнений
а
(2.43)
и_а + Ьи_ь + си_с = и, аи_а + bv_b + cv_c = v, а + Ь + с = 1.
К
а =-
оэффициенты а, Ь, с определяются равенствами

и		ис		иа	и	ис		“а		и
V			■ь- ^4	va	V		1		*>Ь	V
			’ Л				> ^с ~ .
1	1	1	^abc	1	1	1