Высшее профессиональное образование

(2.32)

г(м, и) =
Руы s _v(Uj,Vi) s _v(Uj,u_M) Py+u+l ^su(^uj+\>^vi) S _u(Uj+_bU_M) S _u(Uj,Vi) S _u(Uj,V_M) S _m(Uj’Vi) s_w(«_y,u_/+,)
,^_{( +} | ) S_ut;(Wy₊],t?y) S_wtJ(M_y-₊| ,^/₊l )
где использованы обозначения:
U : -U ,
S_U(M,-, У,) = Ру-I/

(У/-1 -^у/)(^у,-1 ->/+!)

2
- и,
м_у-м

,

■
2у,

+ р./
P у/+

1

4. 
   Геометрическое моделирование
   

s_uv{Uj, v,) =

i-1


(Uj_I -Uj)(Uj__x-Uj_+x)
2uj-uj__t-u_j+i (uj-u_{r ]})(uj -u_J+l)
(U_j+l -Uj_\ )(Uj₊\ -Uj)

Р У-1/-1	Pi-1,'	Р 7-11+1
Р/М	р и	Р // * 1
Р /+1,-1	Р j+li	Р /+»+1

(y,_ 1 -v,)(v, , -y,.₊₁)
2^,--^--1-^41
v,-v

.

Поверхность (2.32) полностью определяется точками р₇.

6. 
   Поверхности Безье
   

Пусть имеется совокупность точек ру, i = 0, 1, n,j = 0, 1, т, условно расположенных в узлах прямоугольной сетки, т.е. в виде п + 1 рядов по /77+1 точек в каждом ряду. Индексы точки означают, что точ­ка ру расположена J-й по счету в г'-м ряду. Нумеровать ряды будем от О до п, а точки в них — от 0 до т.
Поверхность Безье, построенная на совокупности точек ру, описы­вается векторной функцией
п т
r(u, v) = Y_i'£B?(v)BJ^,(u)Py-ие[0, 1], уе[0, 1], (2.33)
/=о у=о
где В"{р) = ———и‘(\-и)^п~' и BJ'(u) = — u^J(l-u)^m~^J — функции
(п-i)lil ^J (m-j)\j\
базиса Бернштейна. В соответствии с (1.18) выполняется равенство
п т
$£в?(р)вт{и) = 1. (2.34)
(=0 j=о
Точки ру называются контрольными точками. Сечения поверхности

33. 
    по линиям и = const или v = const представляют собой кривые Бе­зье степени тип соответственно. Будем говорить, что по первому па­раметру поверхность (2.33) имеет степень т, а по второму параметру — степень п. Область изменения параметров поверхности представляет собой квадрат со стороной, равной единице.
    

Если представить, что на каждых четырех соседних точках р,-,, р_(/.,, Р/+1/, Р/+1/+1 построена билинейная поверхность, то мы получим много­гранник, который будем называть контрольным, или характеристи­ческим, многогранником. Контрольный многогранник дает общее пред­ставление о поверхности Безье. Поверхность Безье вместе со своим контрольным многогранником приведена на рис. 2.18. Так как из коэф­фициентов Бернштейна только нулевой и последний принимают мак­симально возможные значения, а остальные при этом равны нулю, т

о


Рис. 2.18
поверхность Безье проходит только через угловые контрольные точки сетки: р₀₀, р_0т, р„о, р_пт-
Припишем каждой контрольной точке р,-, вес Wy соответственно. Ра­циональная поверхность Безье, построенная на совокупности точек рj, описывается векторной функцией
п т
IIW^Hp,
r(u,v)=^r- ■ (2.35)
ZZ В;-(и)В’"(и)и>у
/=о >=о
В терминах однородных координат радиус-вектор рациональной по­верхности Безье описывается равенством, по форме совпадающим с
(2.33),
п т ;=0 J=о
где Ру = \WjjPij Wy]^т — расширенные векторы (1.35) контрольных точек поверхности.
У рациональной поверхности играют роль не абсолютные значения весов точек, а их относительные значения. Чем больше вес контрольной точки по отношению к весам других контрольных точек, тем ближе к этой точке подходит поверхность. Если веса всех контрольных точек равны, то рациональная поверхность Безье примет вид (2.33).
Радиус-вектор рациональной поверхности вычисляется как частное от деления двух функций параметров и и v, поэтому при вычислении производных рациональной поверхности правую часть (2.35) следует рассматривать как сложную функцию. Если условно обозначить радиус-
„ шг
вектор рациональной поверхности как г = —, то частные производные
w
радиуса-вектора рациональной поверхности определятся формулам

и


dr _ 1 д(шг) wr dw. dr _ 1 d{wr) wr dw du w du w² du ’ dv w dv w² dv
Производные более высокого порядка вычисляются аналогично. Рациональной поверхностью Безье можно описать некоторую часть поверхности второго порядка, а также часть поверхности тора. Для этого проще всего использовать рациональную поверхность Безье второй степени, построенную по 9 контрольным точкам:




г (и, v) =


Poo ^wi№a\ Р02 ^м)²
[(l-i>)² 2u(l-v) у²]- из_иp_l0 w_uw_uРц из„р,₂ • 2и(\-и) Р->п Dr, и²



Веса угловых точек равны единице, а для остальных точек введены веса w_u и ш_и, имеющие индексы параметрических направлений поверх­ности. Тип поверхности, получаемой по формуле (2.36), зависит от по­ложения контрольных точек и весов w_u и w_v. Если сечения поверхности

36. 
    по линиям и = const или v = const представляют собой дуги окруж­ности с углами раствора а_и и а„ соответственно, то w_u = cos(a„/2) и w_v = со5(аУ2).
    

Составная поверхность Безье позволяет преодолеть жесткую связь степени гладкости поверхности с количеством контрольных точек, по которым она построена. Составную поверхность Безье получим в ре­зультате стыковки отдельных поверхностей Безье, имеющих вдоль сты­куемых краев общие контрольные точки и одинаковые степени. Для того чтобы отдельные поверхности Безье гладко стыковались друг с другом, нужно чтобы отрезки контрольных многогранников, прилегающие к об­щим точкам стыкуемых поверхностей, лежали в одной плоскости.

7. 
   ^-поверхности
   

Построим неоднородную рациональную поверхность на основе В- сплайнов так же, как была построена поверхность Безье на основе функ­ций Бернштейна. Пусть имеется совокупность точек р_и, i = 0,1, ..., п, у'=0, 1,..., т, условно расположенных в узлах прямоугольной сетки в виде п + 1 рядов по т + 1 точек в каждом ряду. Неоднородную рациональную поверхность на основе 5-сплайнов к-го порядка по первому параметру и /-го порядка по второму параметру опишем векторной функцией
п т
i
/=0 J=о
где N'(v) и Nfiu) — 5-сплайны (1.44).