Высшее профессиональное образование

г (и,и) =


(2.37)

|=о j=о
'{u)N ]^к{и)и>_и$

_и


Поверхность (2.37) называют NURBS-поверхностью (Non-Uniform Rational В-Spline surface), или В-поверхностью.
Каждый из 5-сплайнов к-то порядка Nj^k(u) построен на неубываю­щей последовательности из к + 2 узлов Uj, u_J+h u_J+k+l, всего для по­строения совокупности m+ 1 5-сплайнов к-го порядка требуется т + к + + 2 узлов Uj в случае незамкнутой поверхности и т + 2к + 2 узлов для циклически замкнутой поверхности. Каждый из 5-сплайнов 1-го поряд­ка N/(u) построен на неубывающей последовательности из I + 2 узлов v_h v_M, v_M+1, всего для построения совокупности п + 1 5-сплайнов /-го порядка требуется п +1 + 2 узлов и, в случае незамкнутой поверхно­сти и п + 21 + 2 узлов в случае циклически замкнутой поверхности. Как следует из (2.37), 5-поверхность имеет две неубывающие последователь­ности узлов, одну — для первого параметра, а другую — для второго параметра.
Сечения поверхности (2.37) по линиям и = const или v = const пред­ставляют собой 5-кривые степени кш I соответственно. Будем говорить, что по первому параметру поверхность (2.37) имеет порядок к, а по вто­рому — порядок I. Область изменения параметров 5-поверхности пред­ставляет собой прямоугольник: и_к<и<. u_m+k+l, v,_n+M. Таким обра­зом, W_mj_n — U_k, Мтах ⁼ ^т+к+1» ^min — ^'7: Цлах ^— ^п+1+1 ■
Пусть нумерация узлов начинается с нуля. Для незамкнутой по пер­вому параметру 5-поверхности, как правило, используются 5-сплайны Nj^k(u), построенные на неубывающей последовательности узлов, в ко­торой первые и последние к + 1 узлов совпадают: и₀ = U\ = ... = и_к и ^ит+1 ^ит+2 = ••• = и_гп+к+1. Для незамкнутой по второму параметру 5-по­верхности, как правило, используются 5-сплайны N/(v), построенные на неубывающей последовательности узлов, в которой первые и послед­ние / + 1 узлов совпадают: v₀ = = ... = v_t и v_n+x = v_n+2 = — = v„_+M. Для циклически замкнутой 5-поверхности по первому (второму) параметру соответствующая последовательность узлов должна отражать замкнутость: первые 2к (21) узлов должны идти через интервалы, повторяющие ин­тервалы, через которые идут последние 2к (2/) узлов.
Когда все контрольные точки 5-поверхности имеют равные веса, то в силу равенства (1.54) формула (2.37) для вычисления радиуса-вектора поверхности на основе 5-сплайнов примет вид
п т
г (и,и) = ££ . (2.38)
1=01=о
В терминах однородных координат (1.35) формула (2.37) имеет вид
п т
R(M,_y) = ££^/(y)7V/(«)P,_y>
/=о >о
совпадающий по форме с (2.38).
Если на каждых четырех соседних контрольных точках построить билинейные поверхности, то получим некоторый контрольный много­гранник поверхности. Если построить 5-поверхность на базе 5-сплайнов первого порядка, то она совпадает со своим контрольным многогран­ником.
Для вычисления радиуса-вектора поверхности используем форму­лы (1.62) и (1.63). По значению параметра и из условия Uj< и < u_J+[ оп­ределим номер j отличного от нуля ненормированного /?-сплайна нуле­вого порядка
М(и) = .
Далее, используя рекуррентное соотношение Кокса—Де Бура _Мк_{(м) =} мД:,¹ (и) + “~“^г М^к“'(и),
^Un k+l ~ ¹¹ г ^Ur+k+\ ~ ^иг
последовательно вычислим все отличные от нуля при данном параметре и 5-сплайны до &-го порядка включительно: Mj _к^к(и), Mj__k+i^k(u), ..., М/(и). Далее 5-сплайны /с-го порядка нормируем
N_r\u) = (и_г+к+1 - u_r) М^к(и), r=j - k,j -к + 1,
Аналогично, по значению параметра и из условия у, < v < v_M опреде­лим номер / отличного от нуля ненормированного 5-сплайна нулевого порядка
М?(и) = ! .
им-v,
Используя рекуррентное соотношение Кокса—Де Бура
Щ{v) = ^U«^+M~^U м#(и) + ^V~^Vq М^,А(и), v_q+M-v_q v_g+M-v_q
последовательно вычислим все отличные от нуля при данном параметре v 5-сплайны до /-го порядка включительно: М^r,_/(t>)> и затем нормируем их
Nq(v) = (v_q+M - v_q) M_q'(v), q = i - I, i - I + 1, z.
Так как в общем случае только часть 5-сплайнов отлична от нуля, радиус-вектор точки 5-поверхности (2.37) для параметров Uj< и < u_J+l и v, < v < v_M вычислим по формуле
Ё X N^,_q(u)N^k(u)w_qгр_?г
г (и, v) = .
t I N‘{v)N^k{u)w_qr
q=i-l r=j-k
Одновременно с вычислением 5-сплайнов может проводиться вы­числение их производных с помощью соотношений (1.58).
Частные производные поверхности вычислим дифференцированием числителя и знаменателя правой части равенства (2.37) с учетом (1.58) и (1.48):