Высшее профессиональное образование

дг __д_( wr } _ 1 д(шг) wr dw. 8г__д_( илЛ_ 1 д(шг) wr dw ди ди\ w J w ди w¹ ди’ ди dv\iv) w dv w² dv ’
n tn
где шг = Х1^/((7)^(ф_Л — числитель правой части (2.37);
/=0 у=0
п т
w = N{(u)Nj(u)Wjj — знаменатель правой части (2.37);
/=0у=0
ST kj I ( \\rk-1/ \ ^У—lfP ij-\
——- = k2,\Nj(v)Nj (и)—^J—^L — производная по и числи-
ди /=0 у=1 ^Uj+k~^Uj
теля;
dw ^{п m} w —w _|

• 
  = k'Y'V NI (u)N (и)— производная по и знаменателя;
  

ди 1=0 У=1 ^uj+k~^uj
——- = /> > 7V/ '(v)NUu) ^ — производная по и ЧИСЛИ-
du _Ыу=о
теля;
с)£У7 ^{Л W —} ^/-1 ‘

• 
  = /Т У Nj~^l(v)Nj (и) —- — — производная по v знаменателя.
  

dv /=i у=о W/+/-W/
Пусть для значений параметров и и и найдены номера j и i узлов и, и у, из условий uj_J+l и V; < v < v_M. При данных параметрах отлич­ными от нуля будут 5-сплайны: Nj__k^k(u),Nj_^k{u), Nj^k(u) и N_hl(v),..., /Vi_/(v), N/(v), а также Nj__k+l^k~\u), ..., N_hX^k~\u), N^k~\u) и N^_M‘-\v), ..., Nj N/~\v), поэтому суммирование в приведенных выше формулах
выполняется по индексам, которым соответствуют отличные от нуля 5-сплайны.
Аналогично вычисляются производные радиуса-вектора 5-поверх­ности более высокого порядка:
д^(г+?>г ₌ д^(г+ч) (шг(и, и)' ди^(г)ди^{9) ди^(г,ди _v w(u, и) ,
Если нумерацию узлов и_у начать не с нуля, а с —к - 1 (уменьшить на к + 1 значения индексов всех узлов uj), нумерацию узлов и, также начать не с нуля, ас-/- 1 (уменьшить на / + 1 значения индексов всех узлов у,), то поверхность (2.37) совпадет с поверхностью
п m
XX ^N<(v)N^kj(u)w_ijPy
r(u,v) = &j± , (2-39)
ZZN!(v)N^kj(u)w_u
i=o y=o
где Nfa) и JV^k(u) — 5-сплайны определения (1.71).
5-поверхность (2.39) использует определение 5-сплайна, в котором он имеет индекс последнего узла последовательности, на которой 5-сплайн построен. Поверхность (2.39) отличают от поверхности (2.37) только рекуррентные соотношения, с помощью которых вычисляются радиус-вектор поверхности и его производные. Вместо приведенных выше формул используются соотношения (1.73)—(1.78).В частном случае, когда к = т, I = п и 5-сплайны N^k/u) построены на последовательности узлов u__x__k - и__к = ... = w_j = 0, и₀ = и_{ = ... = и_к = 1, а 5-сплайны N\(u) — на последовательности узлов гл_1_/ = и_, = ... = у_, = 0, и₀ = и\ = ... = v_t = 1, поверхность (2.39) совпадает с рациональной поверх­ностью Безье (2.35).
В качестве примера построим 5-поверхность с целочисленными зна­чениями узлов.
Пусть первые к + 1 узлов «-последовательности незамкнутой 5-по­верхности имеют значения, равные нулю: и₀ = и, =... = и_к = 0; следующие т - к узлов принимают целочисленные значения от единицы до т - к: ^uk+j~ j>J = 1> 2, ..., т - к; оставшиеся к + 1 узлов принимают значение т - к + 1: и_т+] = и_т+2 = ... = м_т+|ы = т - к + 1. Пусть первые / + 1 узлов ^-последовательности имеют значения, равные нулю: и₀ = у, = ... = и_{ = 0; следующие п-1 узлов принимают целочисленные значения от единицы до п - /: v_M - i, i = 1, 2, ..., п - /; оставшиеся / + 1 узлов принимают зна­чение п - I + 1: и_п+\ = v_n+2 = ... = v_n+M = п - /+ 1.
На рис. 2.19 приведена 5-поверхность третьего порядка по обоим параметрическим направлениям, построенная на сетке, состоящей из 63 контрольных точек. Веса всех контрольных точек одинаковые.
Контрольный многогранник поверхности, приведенной на рис. 2.19, показан на рис. 2.20.
Для циклически замкнутой 5-поверхности по первому (второму) параметру можно использовать равномерные последовательности узлов с единичным шагом, например Uj=j - к, j - 0, 1,..., т + 2к + 1 (и, = / - /, / = 0, 1, ..., п + 21 + 1).
Если п = I, т = к, узлы «-последовательности имеют значения и₀ = -и 1 = ... = и_т = 0, и_т+1 = и_т+2 = ... = и_2т+\ = 1, узлы ^-последовательности — значения v₀ = V\ = ... = v„ = 0, v_n+x = u_n+2 = ... = u_2n+i = 1, то 5-поверхность

совпадает с рациональной поверхностью Безье (2.35). Это следует из того, что функции Бернштейна являются частными случаями 5-сплай­нов. Область изменения параметров 5-поверхности в этом случае пред­ставляет собой квадрат со стороной, равной единице.Рис. 2.20
В отличие от поверхности Безье порядок 5-поверхности не связан жестко с количеством контрольных точек и предоставляет возможность строить поверхности невысокого порядка на большом числе контрольных точек, что придает поверхности бблыиую гибкость.

8. 
   Г-поверхности
   

5-поверхность строится на совокупности контрольных точек рус­ловно расположенных в узлах прямоугольной сетки. Если требуется построить поверхность, имеющую локальную особенность, то необхо­димо локальное сгущение контрольных точек в соответствующем месте. Это сгущение повлечет увеличение контрольных точек во всех рядах и колонках сетки, проходящих через локальную особенность. Если по­верхность имеет несколько локальных особенностей, то нам придется построить неоправданно сложную поверхность. Устранить описанный недостаток позволяет некоторая модификация 5-поверхности.
Рассмотрим поверхность на основе 5-сплайнов, которая описывает­ся векторной функцией