Щк = aBtfj, + ЬВ$:\к + cBfch, (2.56)
которое доказывается непосредственной подстановкой:
aBi-\j№, Ь, с)+ЬВЦ:1к(а, b, с) + сВЦк!.1(а, b, с) =
= а—————a‘~xbJck +b—————a'bJ~'ck +с—————a‘bjck~x =
(/ —1)!у!*! i\(j -\)\к\ i\j\(k-1)!
/' п\ , к j п\ / L к п\ iui к
= a bJc + - a bJcK + a bJcK =
ni\j\k\ ni\j\k\ nl\j\k\
+ j + к n\ l г>.. / и \
= — ... a bJck = B?k(a, b, c).
n /! j\k\
Начнем вычисление с функции
в°ооа(а’ b, с) = 1.
Далее получим В\ай(а, b, с) = а, В{т(а, Ь, с) = Ь, В[т(а, Ь, с) = с. Функция Бернштейна, один из индексов которой равен отрицательному числу, считается равной нулю. Подставим рекуррентное соотношение (2.56) в выражение (2.53), выделив крайние точки и учитывая, что ВппМ = = а", В'1Ы) = Ьп, Вп00п = с", Впт = Ыск, Впюк = а‘ск, В"ф = а'Ы. получим
г(а, Ь, с) = X ЩкЪцк = YSaB?:hk + Щ-}к + сВЦк-1 )Р/ул =
= а X Д +Ь X fi^‘P/»U +
i,j,k=0,i+j+k=n-\ iJ,k=Q,i+j+k=n-\
п-1
V #Л_1П - /7Г(л-1) -4- />Г(Л7_1) -I- ГГ(П~])
+ с Z- ijk Vijk+\ - ari+\jk ^ orij+lk + Crijk+\ >
i,j,k=0,i+j+k=n-1
где введены обозначения
я-1 я-1
i+\jk 2~t ijk P/+1 jk ’ //+1Л: ijk \?ij+\k >
i,j,k=0, i,j,k= 0, i+j+k=n-l i+j+k=n-\
n-1
(/Л+1 ijk P/y'Ar+l*
i,j,k=Q,
/'+j+k=n-\
Выполнив описанные действия для и » в конце
придем к равенству
г$)=5йю(а, Ь, с)pijk =рjk.
Обозначим г (а, Ь, с) через г,'^. В результате получим рекуррентное соотношение для вычисления точки треугольной поверхности Безье
rW= п r(*-i) + + cr (2 57)
1 ijk urMJk ^ и ij+lk ^ L rijk+1 ’
где i+j+k = n- m (i,j, к > 0), г($. = piJk, г(Й0 = r (a, b, с). Алгоритм, описываемый соотношением (2.57), называется алгоритмом Де Касте-
лье. Точки r,y"J получаемые в процессе вычисления, называются точками Де Кастелье. Алгоритм Де Кастелье позволяет вычислить любую точку треугольной поверхности Безье по контрольным точкам, ничего не зная о функциях Бернштейна. Коэффициенты а, Ьис при координатах точек ri+ljk’ 1 и г^;,» являются барицентрическими координатами. Треугольную поверхность Безье можно определить как поверхность, точки которой определяются рекуррентным соотношением (2.57) по совокупности контрольных точек.
От треугольной поверхности Безье п-й степени можно перейти к треугольной поверхности (п + 1)-й степени аналогично тому, как это было сделано для кривых Безье. Для этого умножим правую часть равенства
на сумму а + b + с, равную 1, и получим
a‘bJck+] piJk =
ai+]bJcki
П
ij\k= О, /+j+k=n
г (а, Ь,с)= £ В$к рик =
i,j,k= О,
/+j+k=n+1
n+1
X pijk , (2.58)
Ф/-1 jk + JPij^k + kVijk-\
где pjk =
n +1
новые контрольные точки.
Новых контрольных точек на один ряд вдоль каждой из трех сторон треугольника стало больше. Точки в углах треугольной сетки остались прежние: р*л+шо = р„оо, Ро*+ю = Ро«о. Poo«+i = Poo,,- Выражение (2.58) описывает ту же поверхность, что и выражение (2.53), только через другие контрольные точки.
Пусть треугольная поверхность Безье построена на совокупности контрольных точек piJk, образующих треугольную сетку, показанную на рис. 2.29. Припишем каждой точке рок вес wijk.
Do'stlaringiz bilan baham: |