Высшее профессиональное образование

Продолженная кривая может быть построена на базе любой кривой путем изменения области определения параметра кривой. Пусть требу­ется продолжить кривую г_h(t), t_min < t < t_max, путем расширения области определения параметров до а + /_min < / < t_mm + b. При а < 0 и b > 0 кривая продлевается за свои пределы, при о>0ий<0 — усекается.
Если кривая не является периодической, а ее параметр вышел за гра­ницу области определения, то кривую можно продолжить в соответствии с законом вычисления радиуса-вектора кривой. К таким кривым отно­сятся аналитические кривые, а также кривые, построенные на основе кривых с известным законом вычисления радиуса-вектора. Например, радиус-вектор цилиндрической спирали за пределами области опреде­ления продолжает изменяться по закону цилиндрической спирали.


В общем случае при отсутствии закона поведения непериодической кривой за пределами ее области определения продолжим кривую по ка­сательной, которую она имела на соответствующем конце. Радиус-вектор продолженной кривой вычислим по формуле
е
r(t) = \r_b(t),
сли

если (1.85)

(
если Г_тах > Л
Лпах ) "*■ (^ ^тах ) ,
a
'шах

t

Если базовая кривая является периодической, то при выходе пара­метра за границу области определения выполним его циклический пе­ресчет. В этом случае радиус-вектор продолженной кривой вычислим по формуле
г
(1.86)
(г) = r_b{t - р ■ Ф((г - t_min)/p)),
где р — период базовой кривой; Ф(и;) — функция, вычисляющая наи­большее целое число, не превосходящее w.
В качестве базовой для продолженной кривой должна использовать­ся не другая продолженная кривая, а базовая кривая последней с соот­ветствующим пересчетом параметров а и Ь.
По формуле (1.85) или (1.86) может вычисляться радиус-вектор не только продолженной, а любой кривой при выходе ее параметра за об­ласть определения.
Усеченная кривая представляет собой некоторую часть любой другой кривой с измененным на противоположное направлением или с сохра­ненным направлением. Пусть параметр базовой кривой t изменяется в пределах ?_min < t < t_max. Усеченную кривую определим как часть базовой кривой, начинающейся при параметре и оканчивающейся при пара­метре t₂. Направление усеченной кривой может совпадать с направле­нием базовой кривой или быть ему противоположным, например, при t₂ < t\. Если кривая циклически замкнута, то движение от точки t\ к точ­ке t₂ можно выполнить двумя способами: в положительном направлении базовой кривой и в противоположном направлении. Чтобы преодолеть эту неоднозначность для замкнутых кривых, вводится параметр sign, характеризующий совпадение ее направления с направлением базовой кривой и принимающий значения +1 или -1. Параметру базой кривой соответствует параметр усеченной кривой w_mm = 0, параметру базовой кривой t₂ — параметр усеченной кривой w_m._m = s, где 5 — параметриче­ское расстояние между t₂ и t_x с учетом замкнутости кривой. Если кривая не замкнута, то s = \t₂ - /,|. Радиус-вектор усеченной кривой описывает­ся формулой
г
(1.87)
(w) = г_b(t\ + wsign), 0 < w < s,
где г_b(t) — базовая кривая

.


В качестве базовой кривой для усеченной кривой должна использо­ваться не другая усеченная кривая, а базовая кривая последней с соот­ветствующим пересчетом параметров усечения.
Усеченная кривая может применяться для изменения направления кривой. В таком случае t_x = /_тах, /₂ = ^шт ^и sign = -1.
Усеченная кривая может применяться для изменения положения на­чальной точки циклически замкнутой кривой. Для этого базовая кривая должна быть циклически замкнутой и = t₂. В этом случае усеченная кривая также будет циклически замкнутой.
Репараметризованная кривая может быть построена на базе любой кривой путем изменения значений ее предельных параметров. Пусть требуется, чтобы кривая г_b(t), /_min < t < t_max, имела область определения параметра w_{min mm}. В этом случае построимрепараметризованную кривую
г (w) = г _b(t(u>)), w_{min max}, (1.88)
где t(w) = t_min + t_max ..
^ша x ^min ^max ^min
В качестве базовой кривой для репараметризованной кривой должна использоваться не другая репараметризованная кривая, а базовая кривая последней.
Репараметризованная кривая совпадает с базовой, но имеет другую область определения параметра. Кривая с измененной длиной парамет­ра применяется для согласования областей изменения параметра двух кривых.
Эквидистантная кривая описывается векторной функцией
r(/) = r_b(t) + а X t*(r), (1.89)
где r_h{t) — базовая кривая; t_b(t) = —J== — единичный касательный
л/^гь'г_ь'
вектор к базовой кривой в данной точке; а — заданный вектор.
Область изменения параметра эквидистантной кривой может совпадать с областью изменения параметра базовой кривой, а может быть расши­рена в соответствии с правилами построения продолженной кривой.
Эквидистантная кривая оправдывает свое название, если r_b(t) — пло­ская кривая, а вектор а ортогонален плоскости базовой кривой. В этом случае второе слагаемое в правой части (1.89) есть вектор, который ле­жит в плоскости базовой кривой, ортогонален ей и имеет длину векто­ра а. В результате получим кривую, каждая точка которой отстоит по нормали от соответствующей точки базовой кривой на длину вектора а. На рис. 1.46 приведен пример эквидистантной кривой.
Ссылочная кривая представляет собой кривую, каждая точка которой получена путем некоторого преобразования соответствующей точки ба­зовой кривой. Область изменения параметра ссылочной кривой совпа

-





дает с областью изменения параметра базовой кривой. Радиус-вектор ссылочной кривой описывается формулой
r
(1.90)
(f) = М • r_b(t),
где г_b(t) — базовая кривая; М — расширенная матрица преобразова­ния.
Расширенная матрица содержит как трансформацию по матрице, так и перемещение вдоль вектора. В общем случае преобразование радиуса- вектора точки г₀ имеет вид
г = А - г₀ + t,
где А — матрица трансформации (поворот, преобразование симметрии, масштабирование); t — вектор перемещения.
Расширенная матрица М представляет собой матрицу А, окаймлен­ную снизу нулями, а справа — компонентами вектора перемещения t и имеет вид

A
(1.91)

М =
t
О

1

В качестве примера построим расширенную матрицу преобразования кривой из локальной системы в глобальную систему координат. Пусть кривая г_b(t) описана в локальной декартовой системе координат, а нам требуется работать с ней в глобальной декартовой системе координат. Пусть начало локальной системы координат находится в точке р с гло­бальными координатами p_h р₂, Рз, а базисные векторы i_x = [Xj х₂ х₃]^т, i_y = [yj у2 у₃| ^г, i_z[z\ z₂ £з1^Т локальной системы в глобальной системе опи­сываются координатами х_и х₂, х₃, у_ь у₂, у₃, Z\, Z₂, Z3 соответственно. Тогда расширенная матрица преобразования будет иметь вид