t — t t —t
* j Ч-т+1 j lj-m+\
j-m+\ (i)
tj-t
где wik)j =(m + l-k)
(k-1)
Y.NmjWj = I ^т-\,
(1.80)
7=0
Nm,{f), ..., Nmi+m(t), и их сумма равна единице. Для доказатель
ства этого свойства нужно в формуле (1.53) использовать (1.77) вместо (1.52).
5-сплайны Nj_m_\m(f) и построенные на одной и той же после
довательности узлов, совпадают, поэтому 5-кривая (1.60) совпадет с кривой
m-l
t-t
-, к = 1, 2, ..., m,j = 0, 1, ..., n - k,
j j-m-l+k
w(0) = Wj.
Доказательства равенств (1.80) и (1.81) аналогичны доказательствам равенств (1.65) и (1.66).
Преобразуем числитель выражения (1.79), используя формулу (1.75), следующим образом:
wr(t) = £ NmjWjPj = X NmjWjPj =
7=0 j~t
tj-t
WjPj+- 7 Wj+\P 7+1
m-l r(l) _
j j
(к-1)
w
-W
7+1
(k)
(1.81)
w
о
7=0
P(/c^y+i-P ik~Uj
где p{k): =(/w + l- k)
, к = 1, 2, m,j = 0, 1, n - k.
P(0)7 = WjPj-
Производная Л-го порядка для знаменателя правой части (1.79) равна
dkw dk ~dtr = ~dtk
r(t) =
(1.79)
X/Vmj(0wj
j=о
при уменьшении на т + 1 значений индексов всех узлов кривой (1.60). Кривую (1.79) отличают от кривой (1.60) только рекуррентные соотношения, с помощью которых вычисляются радиус-вектор кривой и его производные.
Производная к-го порядка для числителя правой части (1.79) равна
dk(wr) _ dk dtk dtk
Пусть задана бесконечная (или достаточно длинная) неубывающая последовательность узлов /, и на каждых т + 2 подряд расположенных узлах построен 5-сплайн т-то порядка. Для определения (1.71) при любом /,_] < t < tj отличны от нуля только m + 1 5-сплайнов, а именно,YJNmjwJ P, = £лг-*уР<»
7=0 ) 7=0
i+m-l
= z N*
i+m-2
= z *
j=‘
i+m-2 i+m-m
= £ Nm~2jr(2)j = ... = Z ^°y(/)ry=r(m)y,
где введены обозначения г(0)у- = wjpj, т<к)j = - г
j+ £ X
t —t t —i
j j-m-l+k 1 j * j-m-\+k
xr(W)i+| при изменении к от 1 до m. Для знаменателя выражения (1.79) получим аналогичное выражение
i+m i+m-1 i+m-2
w(t)='£jNmjwj = £ Nm~'jWmj = £ Nm-1jwmj=..=w(m\,
j=i J-i j=i
где введены обозначения мИ0>,= w,-, w(k) , = —-—,+ ——*j~mA+k x
/ — t J t —t
j j-m-\+k lj 1 j-m-l+k
хи>(*_1),+1 при изменении & от 1 до ли.
Мы получили алгоритм Де Бура для вычисления радиуса-вектора точки fi-кривой (1.79) при определении Л-сплайнов (1.71) для параметра /ы < t < t,
wr(t) _ r(m\
r (t) =
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2
fHib 13
«)-£■ ^ р„ 15
... -h 18
+ q,+i(-^2 + w3)(thi - h) = a0(^)p, + «i(^)p,+i + Po(^)(^+i - Oq, + 18
г, = 27
<{ 29
w(k) tlZi и,(*-1) + w(k-l)
t —t t —t
j j-m-l+k 1 j * j-m-l+k
начиная со значений г(0)у- = w-pj, wW)j = Wj.
й-кривые (1.60) и (1.79) эквивалентны и вся разница заключается в предпочтении использования определения В-сплайнов (1.44) или определения 5-сплайнов (1.71).
Рассмотрим частный случай В-кривой, В-сплайны я-го порядка Nni(t), / = 0, 1, п, которой построены на последовательности узлов t_\_n = = t_\ = 0, /0 = t\ = ... = /„ = 1. Рекуррентное соотношение (1.73)
для такой последовательности узлов примет вид
М",(0 = (1 - t)Mn \(t) + tMn
Так как каждый 5-сплайн отличен от нуля на отрезке 0 < / < 1, то В- сплайны будут связаны соотношением
W",(/) = (1 - О^-'Х?) +
которое начинается с Я-сплайна №0 = 1. Сравнив полученное рекуррентное соотношение с (1.19), придем к выводу, что Nnj(t) = B?(t) на последовательности узлов t_x_„ = t_„ = ... = t_{ = 0, t0 = tx = ... = t„ = 1. Из равенства частного случая 5-сплайнов Nnj(t) и функций Бернштейна B"(t) следует равенство частного случая 5-кривой (1.79) и рациональной кривой Безье (1.34). Так как Nnhn_x(t) = Nnj(t), на последовательности узлов t0 = г, = ... = /п = 0, t„+] = t„+2 = ... = t2n+i = 1 5-сплайны Nn,{t) будут равны функциям Бернштейна B"(t) и, следовательно, частный случай 5-кривой (1.60) совпадет с рациональной кривой Безье (1.34). Таким образом, мы видим, что В-кривая является обобщением кривой Безье.
Частные случаи ^-кривых
На последовательности узлов t0 = t\ = 0, t2 = t3 = 1 построим два 5-сплайна первого порядка
JV,°(/) = l-r; = =
~t\
5-кривая (1.61) на базе этих 5-сплайнов представляет собой отрезок прямой
г(t) = ЛГоЧОРо + jV/(/)Pi = (1 - ОРо + *Pi>
соединяющий точки р0 и р,.
Если построить 5-кривую (1.61) по п + 1 вершинам на последовательности узлов t0 = ti< t2 <, < t„+1 = tn+2 на базе 5-сплайнов первого порядка, то она будет представлять собой ломаную линию. Область изменения параметра 5-кривой в этом случае равна * t S tn+2. 5-сплайны первого порядка определяются равенством
N](t) = i ti+2 если tM < t < tl+2;
Do'stlaringiz bilan baham: |