Высшее профессиональное образование

Km ■■	■ Km_2(t)
NU-M
Nj(t)	N)+M ..	■ N)+m-2(t)
Nj^2{t)	Nj+\(t) ..	■ N}+m_2(t)
Nj^m(t)	NjX\t)

Но при любом параметре t среди всех 5-сплайнов нулевого порядка (1.56) только один отличен от нуля, поэтому для вычисления радиуса- вектора 5-кривой используется следующая схема. По значению пара­метра t из условия tj < t < t_i+1 определяется номер i отличного от нуля 5-сплайна нулевого порядка и вычисляется значение ненормированно­го 5-сплайна
Л/Р(0 = —!— ■ (1.62)
t_M-UДалее, используя рекуррентное соотношение Кокса—Де Бура:
M?(t) = ^Г'^+т+'~^{ + — (1.63)
1 —t 1 —t
*j+m+1 * j *j+m+1 /
п

		M,°(t)
	MUt)	Mj(t)
Mh(t)	МШ	MHn
Mi-i'(t)	M”\^l{t)	M?-\t)
Mut)	мрм	M/^n(t)

оследовательно вычисляются все отличные от нуля при данном пара­метре t ненормированные 5-сплайны до т-го порядка включительно (порядок 5-сплайна возрастает сверху вниз, а номера узлов возрастают слева направо):
(0 •
М£_т+м .
Данная треугольная табл!
(1.62) известен элемент первой строки, а каждый элемент следующей строки можно построить по двум соседним элементам в предыдущей строке с помощью (1.63). При вычислении крайних элементов каждой строки используется тот факт, что один из элементов в предыдущей строке, отсутствующий в таблице, равен нулю. Далее 5-сплайны нор­мируются
Nj^m(t) = (t_J+m+i - tj) Mj^m(t)J =i-m,i-m+ 1, ..., i, и подставляются в формулу (1.60), которая для t, < t < t_M примет вид
I NJ(t)WjVj
Г(/) = .
X NJ(t)Wj
j=i—m
С помощью соотношений (1.58) может проводиться одновременное вычисление 5-сплайнов и их производных, что используется в итераци­онных процессах пересечения кривых.
Пусть для значения параметра t найден номер i узла t, из условия t, <

• 
  t < t_M. При данном параметре t отличными от нуля будут 5-сплайны: Nf__m(t), ^V"_m+i(?),N'f_\(t), Ni^m(t). Продифференцируем числитель пра­вой части равенства (1.60) с учетом (1.58) и получим
  

d(wr) d v¹ \rm ^ dN j
dt dt
t ± Ntf ^WjVj
j=i-m *j+m V j=i-m *j+m+1 ‘y'+l
j
- m

^i-mP i-m , yy. V Л/ m-1 ^Wj*
=i-m
= mN^-J ‘rbn.Vi-m _{+ m} £ _N„
j=i-m+\ tj+m
m-1 J-i^rJ tj+m ~tj

i+m+1 /+1 j=i-m+1

I *

-mN

m

/+1

t.

»-i ^wiVi

=
= I ^r'p'¹⁾,
J=i-m+1

(1.64)
m £ Л7
j=i-m+\
где введено обозначени

е

,
,(D .
7=1, 2, ..., n.
В равенстве (1.64) использовались свойства W_i^m_m^l(/) = 0 и A//Ji'(/) = О при tj < t < t_M. Равенство (1.64) показывает, что первая производная /
функции Z NfwjPj представляет собой аналогичную функцию
Z Л'” ‘ру *, порядок и число слагаемых которой на единицу меньше.
j=i-m+1
Продолжив дифференцирование, можно найти производную требуемо­го порядка для числителя выражения (1.60)
d^k(wr) _ d^k ^ ~
^
(1.65)

dt^k dt^k
N^wjpj =£iV_y-* р<*>,
{j=0 У J=

k

к
рГ^-р^г¹»
Ij+m+l-k ~~ V

где р\ ' = (т + \-к)
= 1,2, т, j = к, к + 1, ..., п

,

Р/⁰⁾ = и>уРг
Для производных знаменателя (1.60) получим выражение, аналогич­ное (1.65),
, / \
d Ш d \ \тт... V⁴ at т-1с...(к) ^ j 66)
Z
dt^k dt^k
NJ'Wj = X NJ'~^kwf⁾, / J=

^k
tj+m+l-k tj

■, к = 1, 2, ..., m,j = k, к + 1, ..., и,

где wy’ =(m + \~k)-

_w(k-\)

w

j-1

и;/» = Wj.
Радиус-вектор 5-кривой (1.60) вычисляется как частное от деления двух функций параметра кривой /, поэтому при вычислении производной 5-кривой правую часть (1.60) следует рассматривать как сложную функ­цию, первая производная которой равна
dr__d_( 1 г/(цд~) шг dw
dt dt\w) w dt w² dt'
(1.67)
где wr = ’^_jNj'{t)WjP_j — числитель правой части равенства (1.60);
7=0
w^Nf^Wj — знаменатель правой части равенства (1.60);

=


^ л/я-1 “'Л*/ " “'y-iPy-i dw
= my Ы? 4t) ^{7 y} -—-— — производная числителя; — =
,t! ' ^dt
" . W,-Wj_ 1 = m2__lNj' (0 - производная знаменателя.
/=1 tj+m—tj
Аналогично вычисляются производные fi-кривой более высокого порядка:
d^(k)r _ (wr(t) dt^{k) \ w(t) ,
Следует заметить, что радиус-вектор точки и ее вес (ют или и>,р,) в формулах ^-кривой выступают как единое целое.

10. 
    Алгоритм Де Бура
    

Преобразуем числитель выражения (1.60), используя формулу (1.55), следующим образом:
j=i-m+\ tj+m * j

NjWj-tPj-i +