Высшее профессиональное образование

Свойство 4. Если f(t) = g(t)h(t), то
т
f[t₀, /„ ..., t_u ..., t_k] h[t_k, t_k+l, ..., t_m\. (1.42)
Для доказательства этой формулы аппроксимируем каждую из функ­ций g(t) и h(t) полиномом (1.40) и перемножим их. Коэффициент при наивысшей степени t^m результирующего полинома будет равен правой части (1.42), что и требовалось доказать. Равенство (1.42) называется формулой Лейбница.
Свойство 5. Если для функции/7) построен полином р_т_,(/) степе­ни т—1 на последовательности узлов t₀, t_b t_m__b то
/(') = р_т-М + /[?„, ..., t_m__bt\(t - t₀)(t - /,)...(/ - t_m_,).
Это равенство получим, рассматривая t как дополнительный узел в последовательности узлов и равенство как необходимое условие в до­полнительном узле для полинома степени т.
Рассмотрим усеченную степенную функцию со смещенным нача­лом
o_m(z) = (z-t)7 =(max(0, z-t))^m. (1.43)
Графики функций a_m(z) приведены на рис. 1.24. Чем выше степень функции a_m(z), тем она более гладкая в точке z = t.
Параметр t определяет смещение начала усеченной степенной функ­ции. Усеченная степенная функция со смещенным началом равна нулю при z ^ t и (г - t)^m — в противном случае. Функция a_m(z) кусочно-мо­нотонная непрерывная при т > 0, при т = 0 она имеет скачок в точке z = t, равный единице. Функция ст_ш(г) имеет непрерывные производные до (т - 1)-го порядка включительно. Производная т - го порядка имеет
разрыв в точке z = t. Функция (1.43) приме­чательна тем, что ее производные являются аналогичными функциями, степень которых на единицу меньше.
Р азделенные разности o_m\t_Q, ..., t_m+l\ усеченной степенной функции со смещен­ным началом обладают свойствами, которые позволяют на их основе строить рациональ­ные кривые. Разделенная разность вычис­ляется при фиксированном параметре t, но является функцией параметра t. Если все г, < t, i = 0, 1, ..., т + 1, то все a_m(tj) = 0, и разделенная разность cr_OT|7₀, t_h ..., /_т+1] равна нулю. Если все t, > t, i = 0, 1, ..., т + 1, то разделенная разность а_т[/₀, ..., Г_т+1] равна нулю, так как все узлы находятся на участке, где функция представляет собой полином степени, меньшей (т + 1). Только тогда, когда параметр t смещения начала лежит внутри отрезка, образованного последователь­ностью узлов /₀, ti, ..., /_т+1 (min(/₀, t_x, ..., t_m+l) < t < max(r₀, t_h t_m+l)), разделенная разность a_m[r₀, t_b ..., r_m+1] усеченной степенной функции m-fi степени отлична от нуля.

8. 
   В-сплайны
   

5-сплайны представляют собой скалярные функции, обладающие набором полезных свойств. 5-сплайны строятся на основе разделенных разностей и используются для построения кривых. Основу теории 5- сплайнов заложили Фергюсон (Ferguson J.C.), Шенберг (Schoenberg I. J.), Уитни и Карри. Гордон (Gordon W.J.) и Розенфельд (Riesenfeld R. F.) установили связь между кривыми Безье и 5-сплайнами и показали, что 5-сплайны являются обобщением функций Бернштейна. На основе 5-сплайнов строятся рациональные кривые, которые в частных случаях описывают конические сечения, кривые Безье и другие кривые.
В-сплайн для последовательности т + 2 узлов есть разделенная раз­ность (т + 1)-го порядка усеченной степенной функции со смещенным началом т-й степени, умноженная на разность максимального и мини­мального значений узлов последовательности.
5-сплайн, построенный на последовательности узлов t_M, ..., t_l+m+,, определяется равенством
КГЦ) = (/шах - /щт) СГ_т[А, *М, WlL (1-44)

гае /_тах = тах(/„ t_M, ..., r,_+m+:), t_min = min(/„ t_M, ..., /_/+т+,) - максимальное и минимальное значения узлов последовательности. Индексы в обозна­чении 5-сплайна призваны охарактеризовать последовательность узлов, на которой он построен, и в различной литературе могут иметь разное значение. В одних источниках 5-сплайну приписывается порядок, рав­ный степени усеченной степенной функции, в других — равный поряд-
Рис. 1.25



ку разделенной разности. Кроме того, S-сплайн привязывается к одно­му из узлов последовательности. Мы будем считать порядок 5-сплайна равным степени функции, по которой он построен, и привяжем его к первому узлу. На рис. 1.25 приведены 5-сплайны нулевого, первого и второго порядка.
На рис. 1.26 даны 5-сплайн третьего порядка N\(t) = (t₅ - /|)o₃[/_h t₂, t_}, t₄, /₅1 и 5-сплайн пятого порядка N_}⁵(t) = (t₉ - /₃)ст₅[г₃, r₄, t₅, t_e, t₇, t_%, /₉], построенные на равноотстоящих узлах.
Если последовательность узлов, на которой построен 5-сплайн, со­держит кратные узлы, то производные 5-сплайна теряют непрерывность. На рис. 1.27 приведены 5-сплайны третьего порядка с кратнымы узлами
N\(t) = (t₂ — t\)cs-\t\, t\, t\, t], tj\, N₃(t) = (/₅ — /₃)a₃[/₃, t₄, /4, /4, /5], Nb(t) =

• 
  (^s ~ tb)^aAhi *6> h, h] ■
  

В формуле (1.44) индекс m указывает на порядок 5-сплайна, а индекс / — на первый узел последовательности. Расположение индекса / перед индексом т указывает на то, что /-й узел является первым узлом по­следовательности. В дальнейшем определим 5-сплайн N^_+m+l(t), име­ющий индекс последнего узла последовательности, на что будет указы­вать расположение индекса / + т + 1 после индекса т. 5-сплайны

Рис. 1.26

и построенные на одной и той же последовательности узлов,
равны.
Для вычисления 5-сплайнов вводятся ненормированные 5-сплайны, которые представляют собой разделенные разности усеченной степенной функции.
Ненормированный В-сплайн для последовательности т + 2 узлов есть разделенная разность (т + 1)-го порядка усеченной степенной функ­ции со смещенным началом т-й степени.
Ненормированный 5-сплайн, построенный на последовательности узлов t_h t_M, t_i+m+1, определяется равенством
M’ⁿ(t) = ст,„|Г„ t_M, ..., t_i+m+l\.
В обозначении ненормированного 5-сплайна в формуле (1.45) индекс i указывает на первый узел последовательности, а индекс т — на поря­док 5-сплайна.
5-сплайн и ненормированный 5-сплайн связаны между собой ко­эффициентом, и с точностью до множителя их определения совпадают. Вычисление 5-сплайнов производится с помощью ненормированных 5-сплайнов.
Пусть имеется последовательность т + 2 узлов t_h t_M, t_{i+m+ ь} хотя бы два из которых имеют отличные друг от друга значения. Положим, что t; ф t_i+m+Используем формулу Лейбница (1.42) для вычисления 5-сплайна, представив функцию a_m(z) = (z~0'+^{в в}нце произведения o,„(z) = = g(z)-o_m-\(z), где а_т ,(г) = (z - 0+^m_l и g(z) = (z - t). Тогда разделенная
разность
^nX^h h+ Ь ^i+m+ ll gl®т-ll/n ^/+1) •") h+m+ ll ^