Высшее профессиональное образование



Download 4,46 Mb.
bet9/39
Sana30.04.2022
Hajmi4,46 Mb.
#599667
TuriУчебник
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   39
Bog'liq
word variant (1) (1) (1)

шШ-ШЖ t-*ll t:-t dt
Разделенная разность т-го порядка, построенная на узле кратности т + 1, равна т-й производной функции, вычисленной в данном узле, деленной на т\
I dm f f[t„ t„ ..., t,]= ' - J
m\ dt"
Если p(t) является полиномом m-й степени параметра t и известны значения полинома p(t,) в узлах t„ то разделенная разность первого по­рядка
P(tx)-p(t) t\-t
является полиномом (m - 1)-й степени. В самом деле, функцияp(tt) - p(t) имеет корень /, и, следовательно, согласно теореме Безу делится без остатка на - t. Разделенная разность второго порядка
h~l
является полиномом (т - 2)-й степени. Действительно, функцияp[tb t2\ -
p[t,t\\ имеет корень t2 и, следовательно, согласно теореме Безу делится без остатка на t2 - t. С помощью аналогичных рассуждений приходим

  • к тому, что разделенная разность от-го порядка есть полином нулевой степени

p\t, 11, t2, ..., t,„\ = const,
а разделенная разность (от + 1)-го порядка полинома степени от равна нулю:
p\t, tu t2, ..., tm+ J = 0.
Пусть p(t) является интерполяционным полиномом функции f(t), совпадающим с ней в от + 1 узлах p(t) = i = 0, 1, от, тогда раз­деленные разности, построенные по узлам для функций р(г) и f(t) будут равны. Из определения разделенной разности для функции p(t), построенной на последовательности узлов г, /0, tb ...,
,,1, t + , т_ P\tQjt\,...,t т\ P\t,tQ,...,tm_\ 1
' w '
и равенств разделенных разностей •••> ^1 = /[4ъ Л* •••> fm\ следуют
равенства:
p[t, t0, tb ..., tm ,] =/[*„, /„ ..., /J + (t - tjp[r, t0, t tj =f[t0, tu ..., tj,
p[t, t0, ..., tm_2] =/[/„, ..., rm.|] + (r- r0, ?h ..., Vil,
Ж4Л =/[^o,/il + V - t\) p[tjQ,tx\,
p\A =Ah\ + V-t0) p[tM-
Так какp(t) =p[t], подставляя последовательно эти равенства, каждое последующее в предыдущее, начиная с последнего, получим интерполя­ционную формулу Ньютона для функции f(t)
P(t) =f\h)\ +./U(b t\W ~ to) + f\ta, th t21 (t - t0)(t
+f\t0, tu ..., tj(t-t0)(t- ... (t-tm_i). (1.40)
Таким образом, коэффициенты в полиноме Ньютона являются со­ответствующими разделенными разностями интерполируемой функции. Если интерполяцию (1.40) выполнить на совокупности т + I совпадаю­щих узлов t0 = г, = ... = tm, то в соответствии с (1.39) разделенные разно­сти пропорциональны производным соответствующего порядка интер­полируемой функции, и мы получим усеченный ряд Тейлора.
Известно, что по заданной совокупности значений функции /(/,) в узлах th i = 0, 1, ..., от, можно построить единственный полином сте­пени от, совпадающий в узлах t: с заданной функцией. Из интерполяци­онной формулы Ньютона (1.40) видим, что разделенная разность f[tQ, ?!, ..., tm] от-го порядка на заданной последовательности от + 1 узлов рав­на коэффициенту при наивысшей степени аргумента f” полинома сте­пени от, значения которого в заданных узлах согласуются с функцией At)- Это свойство может быть принято в качестве определения разделен­ной разности.
Свойство 1. Итак, если/(?) = aQ + a{t + a2t2 + ... + amtm (полином степени т), то
/['о, *|> fm\ - ami Л*0> Л> ^m+ ll = 0 ( 1-41 )
для любого дополнительного узла tm+l.
Свойство 2. В силу единственности такого полинома, а также в силу (1.38), любая разделенная разность является симметричной функцией своих аргументов, т.е. значение /[/0, ..., tm\ не зависит от порядка, в котором следуют узлы ?{|, /ь ..., tm в списке аргументов. Разделенная разность выражается через значения функции f(t) в узлах с помощью формулы (1.38). Если некоторые узлы являются кратными, то разделен­ная разность выражается через значения функции f{t) в простых узлах и ее производные в кратных узлах.
Свойство 3. Если /(f) = k^g(t) + khh(t), то
f\t\, ^25 ••*) ^m+ll К g[t\ j ^2> •••> ^m+1
] + khh[t\, h, tmJf,].
Это равенство следует из единственности интерполяционного поли­нома.

Download 4,46 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish