Высшее профессиональное образование

шШ-ШЖ t-*ll t:-t dt
Разделенная разность т-го порядка, построенная на узле кратности т + 1, равна т-й производной функции, вычисленной в данном узле, деленной на т\
I d^m f f[t„ t„ ..., t,]= ' - ^J
m\ dt"
Если p(t) является полиномом m-й степени параметра t и известны значения полинома p(t,) в узлах t„ то разделенная разность первого по­рядка
P(t_x)-p(t) t\-t
является полиномом (m - 1)-й степени. В самом деле, функцияp(t_t) - p(t) имеет корень /, и, следовательно, согласно теореме Безу делится без остатка на - t. Разделенная разность второго порядка
h~^l
является полиномом (т - 2)-й степени. Действительно, функцияp[t_b t₂\ -
p[t,t\\ имеет корень t₂ и, следовательно, согласно теореме Безу делится без остатка на t₂ - t. С помощью аналогичных рассуждений приходим

• 
  к тому, что разделенная разность от-го порядка есть полином нулевой степени
  

p\t, 11, t₂, ..., t,„\ = const,
а разделенная разность (от + 1)-го порядка полинома степени от равна нулю:
p\t, t_u t₂, ..., t_m+ J = 0.
Пусть p(t) является интерполяционным полиномом функции f(t), совпадающим с ней в от + 1 узлах p(t) = i = 0, 1, от, тогда раз­деленные разности, построенные по узлам для функций р(г) и f(t) будут равны. Из определения разделенной разности для функции p(t), построенной на последовательности узлов г, /₀, t_b ...,
,,1, _{t +} , т_ P\tQjt\,...,t _т\ P\t,tQ,...,t_m_\ 1
' w '
и равенств разделенных разностей •••> ^1 = /[4ъ Л* •••> ^fm\ следуют
равенства:
p[t, t₀, t_b ..., t_m ,] =/[*„, /„ ..., /J + (t - tjp[r, t₀, t tj =f[t₀, t_u ..., tj,
p[t, t₀, ..., t_m_₂] =/[/„, ..., r_m.|] + (r- r₀, ?_h ..., Vil,
Ж4Л =/[^o,^/il + V - t\) p[tj_Q,t_x\,
p\A =Ah\ + V-t₀) p[tM-
Так какp(t) =p[t], подставляя последовательно эти равенства, каждое последующее в предыдущее, начиная с последнего, получим интерполя­ционную формулу Ньютона для функции f(t)
P(t) =f\h)\ +./U(b t\W ~ to) + f\ta, t_h t₂1 (t - t₀)(t
+f\t₀, t_u ..., tj(t-t₀)(t- ... (t-t_m_i). (1.40)
Таким образом, коэффициенты в полиноме Ньютона являются со­ответствующими разделенными разностями интерполируемой функции. Если интерполяцию (1.40) выполнить на совокупности т + I совпадаю­щих узлов t₀ = г, = ... = t_m, то в соответствии с (1.39) разделенные разно­сти пропорциональны производным соответствующего порядка интер­полируемой функции, и мы получим усеченный ряд Тейлора.
Известно, что по заданной совокупности значений функции /(/,) в узлах t_h i = 0, 1, ..., от, можно построить единственный полином сте­пени от, совпадающий в узлах t_: с заданной функцией. Из интерполяци­онной формулы Ньютона (1.40) видим, что разделенная разность f[t_Q, ?!, ..., t_m] от-го порядка на заданной последовательности от + 1 узлов рав­на коэффициенту при наивысшей степени аргумента f” полинома сте­пени от, значения которого в заданных узлах согласуются с функцией At)- Это свойство может быть принято в качестве определения разделен­ной разности.
Свойство 1. Итак, если/(?) = a_Q + a_{t + a₂t² + ... + a_mt^m (полином степени т), то
/['о, *|> fm\ - ^ami Л*0> Л> ^m+ ll ⁼ 0 ( 1-41 )
для любого дополнительного узла t_m+l.
Свойство 2. В силу единственности такого полинома, а также в силу (1.38), любая разделенная разность является симметричной функцией своих аргументов, т.е. значение /[/₀, ..., t_m\ не зависит от порядка, в котором следуют узлы ?_{|, /_ь ..., t_m в списке аргументов. Разделенная разность выражается через значения функции f(t) в узлах с помощью формулы (1.38). Если некоторые узлы являются кратными, то разделен­ная разность выражается через значения функции f{t) в простых узлах и ее производные в кратных узлах.
Свойство 3. Если /(f) = k^g(t) + k_hh(t), то
f\t\, ^25 ••*) ^m+ll К g[t\ j ^2> •••> ^m+1
] + k_hh[t\, h, t_mJf,].
Это равенство следует из единственности интерполяционного поли­нома.