Высшее профессиональное образование

Tj(uj) = a₍₎ + а | w + a₂w² + a₃ iv³, w = -^f ‘
... -h
Местный параметр w изменяется от 0 до 1. Векторы Aj,j = 0, 1, 2, 3, найдем из условий на границе участка кривой
г,(0) = р,; г,(1) = р,₊₁; r,'(0) = q,; г/(1) = q_/+1.
После решения этой системы уравнений и подстановки значений а₀, а,, а₂, а₃ получим зависимость радиуса-вектора для сплайна Эрмита
г(/) = р, (1 - 3w² + 2w^}) + p,₊|(3w² - 2«/) + q,(w - 2w² + w')(t_M - /,) +
+ q,₊i(-^² + w³)(t_hi - h) = a₀(^)p, + «i(^)p,₊i + Po(^)(^₊i - Oq, +
+ Pi(^№₊1 - ti)4M, ^w= ,^{t t}‘_t ■> (1-15)
^{i+1 " 4
где tj < t < t_M. В (1.15) введены обозначения для функций
a₀(w) = 1 - 3w² + hv³; оц(w) = 3w² - 2иг", р₀(и>) = ^w ~ 2и>² + м’³;
Pi (и;) = -w² + w³.
Сплайн Эрмита можно строить в отсутствие производных в контроль­ных точках. Если производные q, неизвестны, то их можно вычислить, построив векторный полином Лагранжа второй степени по трем сосед­ним точкам р,_|, р„ р,₊|
_(/) (t — tj)
1-t,)(,ti-i-t_M) ' (t_l-t,.i){t_l-t_M) ^,+l (t_M-t,__x)(t_M ~*i) и взяв в качестве q, его производную при t = t₍
q _ р 1 ₊ p ^2?< ~^fj+1 ₊ p tj-tj-1
Производные на краях сплайна можно получить из условия, что в этих точках обращаются в нуль вторые производные радиуса-вектора. Для этого вычислим по (1.15) вторые производные для соответствующих уча­стков и подставим в них соответствующие значения параметра, в резуль­тате получим
„ _3р, -р₀ 1 _ з р„-р„„, 1 2 /i~r₀ З⁴"⁴--2,2⁴-"
На рис. 1.7 приведен составной сплайн Эрмита третьей степени, по­строенный данным способом, изменение узловых значений параметра которого пропорционально расстоянию между соседними контрольны­ми точками; штриховой линией показан составной сплайн Эрмита треть­ей степени с равномерной параметризацией (?, = /).
Составной сплайн Эрмита дает приемлемую аппроксимацию и тре­бует меньше вычислений, чем рассмотренные ранее сплайны. Вторые производные в контрольных точках составного сплайна Эрмита в общем случае не сохраняют непрерывность

.

Рис. 1.7




На рис. 1.8 приведены: сплайн Лагранжа (/), кубический сплайн (2) и составной сплайн Эрмита (3), построенные по одним и тем же данным. Видим, что сплайны ведут себя по-разному. Сплайны Эрмита и кубиче­ские сплайны строятся для аппроксимации. Для эргономических целей используются кривые, которые будут рассмотрены далее.

4. 
   Кривые Безье
   

Де Кастелье (De Casteljau F.) и независимо от него Безье (Bezier Р.) предложили строить кривые, каждая точка которых вычисляется как взвешенная сумма заданных контрольных точек р„ i = 0, 1, ..., п. Эти кривые получили название кривых Безье

.


Кривая Безье первой степени (я = 1) представляет собой отрезок
г (0 = (1 —/)Р₀ + ГР|.
Радиус-вектор кривой Безье второй сте­пени (п = 2) описывается зависимостью
Рис. 1.9 ^ГМ = О ~ ^f)²Po + 2/(1 - OPi + t²Р₂
Радиус-вектор кубической кривой Безье (и = 3) описывается зависимостью
г(/) = (1 - /)³р₀ + 3/(1 - /)²р, + 3/2(1 - /)р₂ + ^Pj.
На рис. 1.9 приведены кубическая кривая Безье и ломаная линия, построенные по одним и тем же контрольным точкам.
Кривая Безье в общем случае описывается формулой
" " _л!_
S” ы!/!(«-/)! ’
По точкам р, строится контрольная ломаная кривой Безье. На рис. 1.10 приведена кривая Безье, построенная по восьми точкам, и ее кон­трольная ломаная.
Область изменения параметра кривой Безье любой степени принад­лежит единичному отрезку: 0 < / < 1. Кривая Безье не проходит через свои контрольные точки, за исключением крайних точек. Контрольная ломаная касается кривой Безье в крайних точках. Гладкость кривой Бе­зье определяется числом точек. Путем перемещения одной или несколь­ких контрольных точек кривой Безье можно придать желаемую форму.
Форрест (Forrest A. R.) установил связь между коэффициентами при контрольных точках кривой Безье и полиномами Бернштейна. Коэффи­циентами при контрольных точках кривой Безье являются функции Бернштейна
Д"(0= .„”Ч,/'(1 -/)"-'• (1-17)
Совокупность функций Бернштейна для некоторого заданного п называется базисом Бернштейна. Коэффициенты при /'(1 - /)"'' в
■
(1.17) равны коэффициентам С‘ = ^:— бинома Ньютона: (а + Ь)" =
/!(«-/)!
П
= ’^С‘_па^п~'Ь'. Из этого следует, что базис Бернштейна представляет собой
1=0
разложение единицы
£ Д/Ч/) = (/ + (1 -/))” = I^я = 1. (1.18)
/-о
На рис. 1.11 и 1.12 приведены базисы Бернштейна третьей и четвертой степени соответственно

.




Рис. 1.12



Из полиномов Бернштейна только нулевой и последний принимают максимально возможные значения 5₀"(0) = 1, В^п„( 1) = 1, поэтому кривая Безье проходит только через начальную р₀ и конечную р„ точки.
Функции Бернштейна удовлетворяют рекуррентному соотношению
В "(f) = tB"S\(t) + (\-t) Br\t). (1.19)
Это соотношение доказывается непосредственной подстановкой:
+ (1 - t)Br\t) =
' «! . n-i г'
t‘(l-t)"-‘ = В? (t).
ni\(n-i)\ n i\(n-i)\
Используя это рекуррентное соотношение, можно вычислить все функции Бернштейна. Вычисление начнем с функции В 11(f) = 1, далее получим Вl(t) = t, B$(t) = 1 - ..., BS(t) = (1 - t)", B"(t) = tⁿ. При вычис­лении считается, что функции, один из индексов которых равен отри­цательному числу, равны нулю.
Подставим рекуррентное соотношение (1.19) в выражение (1.16), вы­делив крайние точки и учитывая, что Bft(t) = (1 - t)ⁿ, B"(t) = t", полу­чимr(0 = p₀(l -/)" + р_лГ^л + (t) + (1 - t)BF^l (0)p, =




n-\


n-1

= (1 - r)X B,*-' (»p, + f X ВГ' Wp,_tl =

= (1 - f)rjr^l\f) +
n-\
/=0
Продолжив описанный процесс разложения для г₀^(л '* и г(" в итоге придем к равенствам
r/°> = £ B§(t)р,- = р„ / = 0, 1, ..., п.
Обозначив г (г) через r₀(0- ^а Р, ^— через г/⁰⁾, получим рекуррентное соотношение для вычисления точки кривой Безье на к-й итерации ре­курсии
г_;^(А:) = (1 - /)г/* ¹¹ + /г/*! ^l), i + к < п.
Алгоритм, описываемый соотношением (1.20), называется алгорит­мом Де Кастелье. Алгоритм Де Кастелье позволяет вычислить любую точку кривой Безье по контрольным точкам, ничего не зная о функциях Бернштейна. Кривую Безье можно определить как линию, точки которой определяются рекуррентным соотношением (1.20).
Проиллюстрируем алгоритм Кастелье на примере квадратичной кри­вой Безье (рис. 1.13).
Точка с произвольным параметром 1 квадратичной кривой Безье обладает тем свойством, что касательная в ней делит векторы р, - р₀
и р₂ - р, в отношении -—Это следует из записи кривой Безье второй степени в виде