Высшее профессиональное образование

U+2 ~ ^li+1

0. 
   если t < tj или t > tj₊₂.
   

Мы видим, что 7V/M представляют собой кусочно-линейные функции, принимающие значения 7V_/’(/,_+l) = 1 и = 0,j * 5-сплайны пер­
вого порядка для незамкнутой ломаной, построенной на шести кон­трольных точках, приведены на рис. 1.38.

	N А А А /1
/	\ / \ / \ / \ /	ч
/	\/ \/ \/ \/	\
/	\/ \/ \/ \/	\
/	X X X X	\
/	/\ /\ /\ /\	\
/	/\ /\ /\ /\	\
/	/\/\/\/\	\
/	/ \/ \/ \/ \	\
^	Г V V V N	\

Рис. 1.39



Замкнутую ломаную линию как частный случай 5-кривой (1.61) мож­но построить на последовательности узлов /₀ = -1, г, = 0, t₂ = 1, t_t = = i - 1, t_n+2 = n + 1, t„₊з = л + 2. Параметр 5-кривой в этом случае из­меняется в пределах < t < t_n+2. 5-сплайны первого порядка для цикли­чески замкнутой ломаной, построенной на четырех контрольных точках, приведены на рис. 1.39.
Рассмотрим NURBS-представление сплайна Лагранжа. Пусть требуется построить 5-кривую, проходящую через точки а, при значе­ниях параметрах,, i = 0, 1, ..., п. Построим 5-кривую «-го порядка (1.61) на последовательности узлов: t₀ = t_t = ... = t_n = х₀, t_n+l = t_n+2 = ... = t_2n+l = = x„. Всего последовательность содержит 2n + 2 узлов. 5-кривая будет содержать п + 1 контрольных точек. Вес каждой контрольной точки по­ложим равным единице. Контрольные точки р„ / = 0, 1, ..., п, 5-кривой найдем из системы уравнений
Л№о)Ро + Л7(х₀)Р| + - + ЛГ"(х₀)Р_л = а₀;
М)^я(^х,)Ро + ЛГ/Чх^р, + ... + W„"(*i)Pii = а,;
^о^л(х_я)Ро + Л7(х„)р, + ... + N_nⁿ{x_n) р„ = а„.
Определитель матрицы этой системы уравнений не равен нулю, если среди точек х, нет совпадающих. Так как на отрезке [х₀, х„] 5-сплайны N,"(t) являются полиномами п-й степени, то построенная 5-кривая представляет собой полиномиальную функцию степени п и совпадает со сплайнами Лагранжа и Ньютона.
Рассмотрим NURBS-представление незамкнутого кубического сплайна, проходящего через точки а, при значениях параметра х,-, i = О,

..., п, и имеющего производные радиуса-вектора в крайних точках q₀ и q„. Кубический сплайн представляет собой кусочно-полиномиальную функцию параметра третьей степени с непрерывными производными до второго порядка включительно, поэтому для построения совпадающей с ним 5-кривой будем использовать 5-сплайны третьего порядка Nf(t). Для совпадения начальной и конечной точек сплайна и 5-кривой на­чальные и конечные четыре узла последовательности должны иметь кратность, равную четырем. Построим следующую последовательностьузлов: t₀ = ti = t₂ = t₃ = x₀, U = x,, t₅ = x₂, t_M = x,-, t_n+3 = t_n+4 = /„₊₅ = = t_n+6 = x„. Всего последовательность содержит n + 7 узлов. 5-кривая бу­дет содержать п + 3 контрольных точек. Вес каждой контрольной точки положим равным единице. Таким образом, 5-кривая, совпадающая с кубическим сплайном, будет иметь вид
п+2
г(0 = X NjiOPj-
У=О
fi-кривая, так же как и кубический сплайн, будет иметь область оп­ределения х₀< t < х_п.
Контрольные точки ру, у = 0, 1, п + 2, найдем из условий:
г(х₀) = а₀; ^(x₀) = q₀; г(х,) = а,; / = 1, 2, п - 1, ^(x„) = q„; г(х„) = а„. at at
Эти условия приводят к системе п + 3 уравнений:
Ло³(х„)рп + /VfVoiP + ... + N ^₊₂(х₀)р„,2 = а₀;
3Ar2(_Xo)gLZgo _{+ 3A}r2_(X())£rz£i _{+ +} 3Nl₂₍x_o) ^p"t?jJV±L = q_Q;
‘s~h h~h *п+5~¹п+2
Л'о’^ОРо + ^V,³(X|)p₂ + ... + Л^³_п+2(х,)р„₊₂ = a,;
WriWPo + N ³(x₂)p₂ + ... + Л^₊₂(х₂)Р„₊2 = a₂;
^o\x_n_i)Po + A^i³(jc„_,)p₂ + ... + Af³₊₂(x„_,)p_n+2 = a„
3^,²(х„)Р^ + 3^(х_и)Ц1 + ... ₊ 3^₊₂и_я)Р-2-Р^ =q„;
*5“*2 0 ^_О *п+5~¹п+г
N₀\x_n)p_{) + N?(x„) p₂ + ... + /V³„₊₂(x„)p„_l2 = a„.
Используя формулы (1.62) и (1.63), определим значения 5-сплайнов при значениях параметра 1 = x_h i = 0, 1, ..., п. Для параметра t = х₀ отли­чен от нуля только один 5-сплайн третьего порядка Nq(x₀) = 1 и один fi-сплайн второго порядка N\(x₀) = 1. Для параметра t = х„ отличен от нуля также только один 5-сплайн третьего порядка /V³„₊₂(x„) = 1 и один 5-сплайн второго порядка N²_n+2(x„) - 1. Для каждого значения парамет­ра / = Xj_з = tj,j = 4, 5, ..., /7 + 2, отличны от нуля только три 5-сплайна третьего порядка:
O+i 0-2 O+i О-i N ) = JlZljz\ - 0+L-0 + jO+jrO 0-0-2 .
0+2 О-i O+i О-i 0+i^_ 0-2 0+i — 0-i