Viloyati hokimligi xalq ta’limi

Kvadrat tenglama va uning ildizlari
1-masala: To`g`ri to`rtburchakning asosi balandligidan 10 sm ortiq, uning yuzi esa 24 sm<sup>2</sup> ga teng. To`g`ri to`rtburchakning balandligi toping.
To`g`ri to`rtburchakning balandligi x santimetr bo`lsin, u holda uning asosi (x+10) santimetrga teng. Shu to`g`ri to`rtburchakning yuzi x(x+10) sm<sup>2</sup> ga teng.Masalaning shartiga ko`ra, x(x+10)=24.
Qavslarni ochib va 24 sonini qarama qarshi ishora bilan tenglaman­ing chap qismiga o`tkazib, quydagini hosil qilamiz:
x<sup>2</sup>+10x-24=0
Tenglamaning chap qismini guruhlash usuli bilan ko`paytuvchilarga ajratamiz:
x²+10x-24=x²+12x-2x-24=x(x+12)-2(x+12)=(x+12)(x-2)
Demak, tenglamani bunday yozish mumkin:
(x+12)(x-2)=0
Bu tenglama x₁=-12 va x₂=2 ildizlarga ega.
Kesma uzunligi manfiy son bo`la olmasligi sababli izlayotgan balandlik 2 sm ga teng bo`ladi.
Bu masalani yechishda kvadrat tenglama deb ataluvchi
x²+10x-24=0 tenglama hosil qilindi
Kvadrat tenglama deb
ax²+bx+c=0 (1)
ko`rinishdagi tenglamaga aytiladi, bunda a,b,c, - berilgan sonlar, a≠0, x esa noma`lum.
Kvadrat tenglamaning a,b,c koeffitsiyentlari odatda bunday ataladi: a-birinchi yoki bosh koeffitsiyent, b-ikkinchi koeffitsiyent, c-ozod had.
Masalan, 3x²-x+2=0 tenglamada bosh koeffisiyent 3, ikkinchi koeffitsiyent -1, ozod had 2.
Matematika, fizika va texnikaning ko`pgina masalalarni yechish kvadrat tenglamani yana misollar keltiramiz:
2x<sup>2</sup>+x-1=0, 5t<sup>2</sup>-10t-3=0,
x<sup>2</sup>-25=0, 2x<sup>2</sup>=0.
Ko`pgina masalalarni yechishda algebraik shakl almashtirishlar yordamida kvadrat tenglamaga keltiriladigan tenglamalar hosil bo`ladi.
Masalan,
2x<sup>2</sup>+3x=x<sup>2</sup>+2x+2
Tenglama uning barcha hadlarini chap qismiga olib o`tgandan va o`xshash hadlarini ixchamlagandan keyin ushbu
x<sup>2</sup>+x-2=0
kvatdrat tenglamaga keladi.
2-masala. Tenglamani yeching:
x<sup>2</sup>=64
64 ni chap qismga olib o`tamiz va kvadrat tenglamani hosil qilamiz:
x²-64=0
Chap qismini ko`paytuvchilarga ajratamiz:
(x-8)(x+8)=0
Demak, tenglama ikkita ildizga ega: x<sub>1</sub>=8, x<sub>2</sub>=-8
x<sup>2</sup>=64 tenglamaning birinchi ildizi 64-sonining arifmetik ildizi, ikkinchisi esa unga qarama-qarshi son ekanini ta`kidlaymiz:
x₁=_{ }
Odatda, bu ikki formula birlashtirilib yoziladi:
x_1,2=_{ }
2-masala javobni x_1,2=±8 kabi yozish mumkin x²=64 tenglama keltirilishi mumkin bo`lgan x²=d tenglamaning xususiy holidir.