|
Qo’shimcha mashqlarning javoblari
a) v) da kamayadi; d) da kamayadi; e) da kamayadi.
a) kamayadi; b) o’sadi; v) kamayadi; g) o’sadi. 5. (0; 1). 6. (1; -5). (-1; -9).
7. (2; 4) 8. 0,5. 9. Y=2x+1. 10. Bo’ladi.
6. TRIGONOMETRIK TENGLAMALAR VA TENGSIZLIKLAR
Trigonometrik tenglamalar (tengsizliklar) ni yechishning ko’pgina yo’llari va usullari mavjudki, ularni umumiy nazariya doirasida to’laligicha ko’zda tutishning iloji yo’q. Ulardan ayrimlarini sanab o’tamiz: o’zgaruvchilarni almashtirish, ko’paytuvchilarga ajratish, yordamchi argument kiritish, ratsionallovchi o’rniga qo’shishlarni qo’llanish, trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini ularning yig’indisiga keltirish va buning aksi, simmetrik ko’phadlar xossalaridan foydalanishga asoslangan usullar va hokazo.
Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechishda qo’llaniladigan ayrim usullarni misollarda ko’rsatamiz.
1-misol. Tenglamani yeching:
Yechish. a)
Ushbuga ega bo’lamiz: ya’ni
Lekin shunga ko’ra k=0. Bundan cos4x=0,5 va buning yechimi:
v) Ushbuga ega bo’lamiz: shu bilan birga u holda k=0. Shunday qilib, tenglamani hosil qilamiz, uning yechimi dan iborat.
2-misol. Ushbu tenglamani yeching.
Tenglamaning quyidagi shartni qanoatlantiruvchi barcha yechimlarini toping:
Yechish: bo’lgani uchun tenglamani
Ko’rinishga keltirish mumkin. Uni sinx ga nisbatan uchinchi darajali tenglama kabi yechib, sinx=0,5 ni olamiz. Bundan:
Olingan majmuadan shunisi ravshan bo’lmoqdaki, a) shartni sonlar, b) shartni faqat soni, v) shartni esa soni qanoatlantiradi.
Javob.
3-misol. Tenglamani yeching:
Yechish. a) bo’lgani uchun berilgan tenglamani
Ko’rinishda yozamiz va uning chap qismini ko’paytuvchilarga ajratamiz. U holda:
Javob.
Ushbuga ega bo’lamiz:
Javob:
4-misol. Tenglamani yeching:
.
Yechish. Bu uchala tenglama bir jinsliga keluvchi tenglamalarga misol bo’la oladi.
a) bo’lishini e’tiborga olib,berilgan tenglamani quyidagi ko’rinishga keltiramiz:
yoki
sonlari bu tenglamaning yechimlari emasligini ko’rish qiyin emas. Shunga ko’ra uning barcha hadlarini ga bo’lib, unga teng kuchli ushbu tenglamani olamiz:
Javob.
Javob:
v) bo’lgani uchun tenglamani quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin:
yoki
sonlari bu tenglamaning ildizlari emas. Shunga ko’ra tenglamaning barcha hadlarini ga bo’lib, unga teng kuchli ushbu tenglamani olamiz:
Qavslarni ochib, ushbu
Tenglamani hosil qilamiz va uni yechib, quyidagiga ega bo’lamiz:
Javob:
Endi shunday tenglamalarni qaraymizki, ularni yechishda yordamchi argument kiritish usulini qo’llash mumkin bo’lsin. Bunday tenglamalarga sinx va cosx ga nisbatan chiziqli tenglamalar kiradi:
Bu tenglama uning barcha hadlari ga bo’lingandan keyin ko’rinishga keladi, unda yordamchi burchak, uning uchun . Tenglama faqat va faqat bo’lgan holdagina yechimga ega bo’ladi.
5-misol. Ushbu tenglamani yeching.
Yechish: bo’lgani uchun berilgan tenglama
Tenglama teng kuchli. bo’lganidan shunday burchak mavjudki, uning uchun
Ushbuga ega bo’lamiz:
bo’lgani uchun uzil-kesil quyidagini olamiz:
Shuni qayd etamizki, asinx+bcosx=c ko’rinishdagi tenglamalarni universal o’rniga qo’yish yordami bilan ham yechish mumkin.
6-misol. tenglamani yeching:
Bir ismli trigonometrik funksiyalarning tenglik shartlaridan foydalanamiz:
Yechish.
Javob.
Ushbuga ega bo’lamiz:
Javob:
v)
Javob:
7-misol. Ushbu tenglamani yeching:
Yechish. Berilgan tenglama barcha lar uchun to’g’ri bo’lgan
,
Formulalar yordami bilan ga nisbatan algebraik tenglamaga keltirish mumkin. sinx va cosx ni tarkibida bo’lgan ifodalar bilan almashtirish ko’rinishdagi ildizlarning yo’qolishiga olib kelishi mumkinligini qayd qilamiz. x ning bu qiymatlari berilgan tenglamani qanoatlantiradimi-yo’qmi, bu tekshirish orqali aniqlanadi.
Berilgan tenglamada universal almashtirish deb ataluvchi almashtirishni bajarib,
Tenglamaga ega bo’lamiz. U dan iborat ildizlarga ega. Endi x o’zgaruvchiga qaytsak, tenglamalar majmuasini hosil qilamiz, undan Bizga sonlarning berilgan tenglamani qanoatlantirmasligini tekshirish qoladi. Quyidagiga ega bo’lamiz:
Javob:
8-misol. Ushbu tenglamani yeching.
Yechish. Bunday tenglamalarni yechishda ushbu
darajani pasaytirish formulalaridan foydalanish qulay. cos2x=t belgilash kiritib, formuladan foydalanib,
Tenglamani olamiz. Qavslar ochilib, o’xshash hadlar ixchamlangandan so’ng tenglama hosil bo’ladi. ekanini e’tiborga olib, ni topamiz, ya’ni
Javob.
9-misol. tenglamani yeching.
Yechish. funksiyalar ko’pi bilan 1 ga teng qiymatni qabul qilishi sababli bir vaqtda cosx=1 va bo’lgandagina ularning yig’indisi 2 ga teng bo’ladi, ya’ni
Javob.
10-misol. Ushbu tengsizlikni yeching.
Yechish. cosx=t belgilash kiritib, ushbu tengsizlikni olamiz:
Uni intervallar usuli bilan yechib, ni topamiz.
x o’zgaruvchiga qaytib, quyidagilarga ega bo’lamiz:
Do'stlaringiz bilan baham: | 
