To’g’ri chiziq funksiya grafigining dagi gorizontal asimptotasidir

Lemma. Agar f funksiya (a; c] va [c; b) oraliqlarda o’ssa (kamaysa), u holda f (a; b) da o’sadi (kamayadi).

Isboti. bo’lsin. Agar va larning ikkalasi (a; c], [c; b) oraliqlardan biriga tegishli bo’lsa, u holda f mos oraliqda o’suvchi bo’lganidan bo’ladi. Agar bo’lsa, bo’ladi. Lemma isbotlandi.

a yoki b nuqtalardan birortasi ko’rsatilgan oraliqlarga tegishli bo’lgan, yoki bo’lgan holler uchun lemmani qayta ta’riflash mumkinligini tushunish oson.

2-teorema. Agar f funksiyaning hosilasi l oraliqning funksiya uzluksiz bo’lgan chekli sondagi nuqtalaridan tashqari ( bu nuqtalarda hosila mavjud bo’lmasligi ham mumkin) hamma yerida musbat (manfiy) bo’lsa, funksiya bu oraliqda o’sadi ( kamayadi ).

Isboti. Aniq bo’lsin uchun l oraliq biror (a; b) interval bilan ustma-ust tushsin va tengsizlik (a; b) intervalning nuqtalaridan tashqari qolgan har qaysi nuqtasida bajarilsin. Bu nuqtalarni o’sish tartibida nomerlangan deb hisoblaylik, ya’ni . intervallarning har qaysisida shart bajarilishi va nuqtalarda funksiya uzluksizligi tufayli, 1-teoremaga muvofiq, funksiya ; b)) larda o’sadi. Isbotni oxiriga yetkazish uchun isbotlangan lemmani bir necha bor ketma-ket qo’llashimiz qoladi. Haqiqatan, f (a; ] va [ ] da o’suvchi bo’lgani uchun ] da ham o’sadi. f ning ] da o’sishini ham huddi shunday isbotlaymiz ( f ning ] va da o’sganiga ko’ra) va hokazo. Chekli sondagi qadamlardan so’ng funksiyaning (a; b) da o’sishini aniqlaymiz. Teorema isbotlandi.

Misollar qaraylik.

1-misol. funksiyani monotonlikka tekshiring.

Yechish. ga egamiz. kvadrat uchhad diskriminanti manfiy, bosh koeffitsient esa musbat, u holda istalgan da Demak, f funksiya sonlar o’qi bo’yicha o’suvchi (1-teorema).