T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

1.8-teorema. 
Sonlar o ‘qini  tasvirlovchi  to‘g‘ri  chiziqda shunday nuqta borki 
unga mos keluvchi  ratsional  son  mavjud emas.
Isbot. 
0  Katetlan,  birlik  kesma 
OM
  ga  teng  bo‘lgan 
OMB
  to‘g‘ri  burchakli 
uchburchakning 
OB
  gipotenuzasini  sirkul  yordamida 
0
  nuqtadan  o ‘ngga 
joylashtirsak,  sonlar o'qida 
С
  nuqtaga ega boMamiz (4-rasm).
Ravshanki,  |0 C|2  =   |O B| 2  =   2.  Mana 
shu 
С
  nuqtaga  mos  ratsional  son  mavjud 
emas.
Haqiqatan,  teskarisini  faraz  qilaylik,
ya’ni shunday -  ratsional son, qisqarmas kasr 
о
4- rasm
mavjud  bo‘lib,  ^   =   2  boMsin.  Bundan
P 2  =   2<72> y a’ni p ningjuft sonligi kelib chiqadi.  Shuning uchun, 
p  =  2m
 belgilash 
kiritib  uni  yuqoridagi  tenglikka qo‘ysak 
q 2
  =   2m 2  tenglikni  hosil  qilamiz.  Bu  esa 
q
  ning  ham  juft  ekanini  ko‘rsatadi.  Demak,  ^  sonning  qisqarmas  kasr  deb
olganimizga  zid  xulosaga  keldik.  Bundan, 
С
  nuqtaga  mos  keladigan  ratsional  son 
mavjud emasligi  kelib chiqadi.  ♦
Sonlar  o‘qida 
С
  nuqtaga  o ‘xshash,  ratsional  sonlar  orqali  ifodalab 
bo‘lmaydigan nuqtalami ko‘plab ko‘rsatish mumkin.  Bunday xulosa ratsional sonlar 
to‘plamini  kengaytirish zaruriyatini  keltirib chiqaradi.