T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

1
.
9
-ta’rif.
  Ratsional  sonlar to ‘plami 
Q
  qandaydir usulda/4  va 
В
 to'plamlarga 
ajratilgan boiib,  quyidagi  shartlar bajarilsa, bu  ajratish 
Q
  ning 
kesimi
 deyiladi:
1) 
А  Ф
  0, 
В  Ф
  0;
2) 
A
  U 
В  =  Q,
3) 
A
 to‘plamga tegishli  ixtiyoriy 
a
  son 
В
  to‘plamga tegishli  har qanday 
b
 
sondan kichik (a   <  
b).
Odatda  kesimni  (
A, В
)  ko‘rinishda  belgilanadi.  Bunda 
A
  to‘plam  kesimning 
quyi sinfi,  В
 to‘plam esa kesimning
yuqori sinfi
 deyiladi.
Masalan,  3  sonini  va undan kichik bo‘lgan barcha ratsional  sonlami 
A
  sinfga,
3  dan katta boMgan barcha ratsional  sonlarni 
В
 sinfga kiritamiz:
A
  =  
[x  E  Q: x   <
  3}, 
В
  =  
{x
  6 
Q \x   >
  3}.
Bunday ajratish kesimning uchalashartini qanoatlantiradi.  Shuningdek, 3 soni 
quyi  sinfmng eng katta elementi  bo'ladi,  ammo yuqori  sinf 
В
 da eng kichik element 
mavjud emas.
Umumiy holda, ixtiyoriy 
r
 ratsional  son uchun 
A
  =  
[x
  6 
Q: x   <  г), В  =  [x
  6 
Q : x   >  r)
  to‘plamlami  kiritib 
{A, B)
  kesimni  hosil  qilsak, 
r
  soni  quyi  sinf 
A
  ning 
eng  katta  elementi  boiadi.  Yuqori  sinf 
В
  da  eng  kichik  element  mavjud  emas. 
Haqiqatan ham, 
В
  da eng kichik  element mavjud va u 
rt
  ga teng deb faraz qilaylik. 
U holda r  <  
rt
  va ratsional  sonlar to‘plamining zichlik xossasiga ko‘ra r   dan  katta 
va rt  dan  kichik bo‘lgan  r2  ratsional  mavjud bo‘lib,  u 
A
  sinfga ham, 
В
  sinfga ham 
tegishli  emas.  Bu esa  (Л, 
B)
  ning kesim ekanligiga zid bo‘ladi.
1.10-misol  Ixtiyoriy 
r
  ratsional  soni  uchun 
r
  dan  kichik  bo‘lgan  barcha 
ratsional  sonlami 
A
  sinfga, 
r
  va  undan  katta  bo'lgan  barcha  ratsional  sonlami 
В
 
sinfga  kiritib  hosil  qilingan  (Л, 
В
)  kesimning  quyi  sinfi 
A
  da  eng  katta  element 
mavjud emas.  Yuqori sinf 
В
  d a r  eng kichik element bo‘ladi.
8

---

1.11-misol.  Kvadrati  2  dan  katta bo‘lgan  barcha musbat ratsional  sonlarni 
В
 
sinfga,  qolgan  barcha  ratsional  sonlarni 
A
  sinfga  kiritsak, 
(A.B)
  kesimga  ega 
bo'lamiz.
Bu kesimda, quyi sinfvi ning eng katta elementi mavjud emas, ya’ni 
A
  sinfdan 
har qanday 
r
 ratsional  son olmaylik undan katta, 
A
 ga tegishli ratsional  son har doim 
topiladi.  Shuni  isbotlaymiz.
Aytaylik, r  biror musbat ratsional son va r 2  <   2  bo‘lsin.  M a’lumki,  ixtiyoriy 
n natural son uchun r   <   r   +  -  m unosabato‘rinli va 
r
 +  -  ratsional son.  Shu sababli