Sonli ketma ketliklar tushunchasini

2.2. Antik davrda arifmetik progressiyalar.
Bobilliklarning mixxat lavhalarida, shuningdek, miloddan avvalgi 2-ming yillikka oid Misr papiruslarida arifmetik va geometrik progressiyalar misollari uchraydi.
Mana arifmetik progressiyadan foydalanadigan Bobil muammosi.
Vazifa: “10 aka-uka, kumush konlari. Aka akasidan yuqori ko'tariladi, qancha ko'tariladi, bilmayman. Sakkizinchisining ulushi 6 misqol. Aka birodar ustidan - u qanchalik baland? 
Shunday qilib, kumush konlari (kon 60 shekelga teng) 10 aka-uka o'rtasida taqsimlanishi kerak, shunda aka-ukalarning ulushlari arifmetik progressiyani tashkil qiladi. Sakkizinchi aka 6 shekel olishini bilib, progressiya farqini topish talab qilinadi.
Ixtiyorida na zamonaviy simvolizm, na tayyor formulalar bo'lmagan Bobil muallifi qat'iy arifmetik mulohazalarga amal qilishga majbur. Uning yechimi ortidagi g'oya quyidagicha. U o'rtacha arifmetik (o'rtacha ulush) ni topish, minalarni 10 ga bo'lish va minalarni olishdan boshlaydi, keyin uni ikkiga ko'paytiradi. Shunday qilib, ikki baravar o'rtacha ulush minalardir. Bu uchinchi va sakkizinchi aka-ukalarning ulushlarining yig'indisi, uchinchidan birinchi, shuningdek, sakkizinchi o'ninchi 2 bosqich (intervallar) bilan ajratilganligini hisobga olsak. Sakkizinchidan uchinchisi 5 qadam bilan ajralib turadi va ularning ulushlari orasidagi farq minalardir. Bu yerdan
va bir qadamning qiymati topiladi, ya'ni progressiyaning farqi,
konlardan yoki + konlardan .
Va bu erda Ahmes papirusidagi Misr muammosi.
Vazifa: "Sizga aytilsin: 10 o'lchov arpani 10 kishiga bo'ling, har bir kishi va uning qo'shnisi o'rtasidagi farq o'lchovga teng."
Ushbu va boshqa shunga o'xshash muammolarni hal qilishda misrliklar zamonaviy simvolizmda quyidagicha yozilishi mumkin bo'lgan qoidadan foydalanganlar:
.
Bu bizning formulamizga teng.
.
Ushbu qoidaning kelib chiqishi aniqlanmagan: ehtimol bu empirikdir.
Arifmetik progressiya - qo'shni hadlar orasidagi farq doimiy bo'lib qoladigan raqamlar ketma-ketligi. Masalan, 7, 10, 13, 16 arifmetik progressiya bo‘lib, qo‘shni hadlar orasidagi farq uchtaga teng. Ramsey nazariyasidan arifmetik progressiyalar haqidagi quyidagi fikr kelib chiqadi: agar 1 dan 9 gacha bo'lgan har bir raqam qizil yoki ko'k rangda bo'lsa, uchta ko'k yoki uchta qizil raqam arifmetik progressiyani hosil qiladi.
Ushbu bayonotni isbotlash uchun biz to'qqizta raqamni bo'yashning barcha 512 usulini sinab ko'rishimiz mumkin. Ammo biz buni faqat ikkita holatni ko'rib chiqish orqali isbotlashimiz mumkin. Keling, 4 va 6 bir xil rangga ega bo'lgan holatdan boshlaylik, aytaylik ko'k .
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4, 5, 6 ko'k arifmetik progressiyaning oldini olish uchun biz 5 ni qizil rangga bo'yamiz.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2, 4, 6 va 4, 6, 8 ko'k arifmetik progressiyalardan qochish uchun biz 2 va 8 qizil rangga bo'yamiz.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ammo keyin biz qizil arifmetik progressiyani olamiz 2, 5, 8. Demak, agar 4 va 6 bir xil rangga ega bo'lsa, biz doimo qizil yoki ko'k arifmetik progressiyani olamiz. Endi 4 va 6 turli xil ranglarga ega bo'lgan holatni ko'rib chiqing. 5 raqamini arifmetik progressiya yaratmasdan har qanday usulda bo'yash mumkin, shuning uchun biz o'zboshimchalik bilan 5 ni qizil rangga bo'yamiz.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Keling , quyidagi tarzda rang berishni davom ettiramiz :
3 dan qochish uchun 3 4 5
3 6 9 dan qochish uchun 9
5 7 9 dan qochish uchun 7
6 7 8 dan qochish uchun 8
2 dan qochish uchun 2 5 8
1 1 2 3 dan qochish uchun
Ushbu rang berish ketma-ketlikni beradi
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Lekin u hali ham qizil arifmetik progressiyaga ega 1, 5, 9. Shunday qilib, 4 va 6 bir xil yoki turli ranglarda bo'yalganidan qat'i nazar, har doim ko'k yoki qizil arifmetik progressiya mavjud.
Van der Vaerden o'z oldiga quyidagi muammoni qo'ydi, bu avvalgisini umumlashtirish: agar n etarlicha katta son bo'lsa va 1 dan n gacha bo'lgan barcha butun sonlar sahifada har bir raqam uchun o'zboshimchalik bilan tanlangan ikkita rangdan birida chop etilishini isbotlash. , u holda har doim a'zolarining ma'lum soniga ega bo'lgan bitta rangli ketma-ketlik mavjud bo'lib, bu arifmetik progressiyadir. Ushbu bayonotni arifmetik ketma-ketliklar uchun Ramsey teoremasi deb hisoblash mumkin, garchi u odatda van der Vaerden teoremasi sifatida tanilgan.
Van der Vaerden hamkasblari Emil Artin va Otto Shrayerni yordamga chaqirdi. Keyinchalik u shunday deb yozgan edi: “Biz Artinning Gamburg universitetining matematika fakultetidagi kabinetiga borib, dalil topishga harakat qildik. Biz doskaga bir nechta rasmlarni chizdik. Bizda nemislar Einfälle (ma'rifat) deb ataydigan davlat bor edi, qachonki hayolga kutilmagan g'oyalar kelsa. Bir necha marta bunday yangi g'oyalar muhokamani yangi yo'nalishga olib keldi va ulardan biri oxir-oqibat yechimga olib keldi. Ammo ma'lum bo'lishicha, van der Vaerden bir vaqtning o'zida ixtiyoriy miqdordagi ranglar ishlatilsa, ikkita rang uchun bu natijani isbotlay olmaydi.
Van der Vaerden o'z isbotida maxsus matematik induksiyadan foydalangan. Oddiy (yagona) induksiya ikki bosqichni o'z ichiga oladi. Birinchi qadam, ta'kidning qandaydir kichik raqamga, aytaylik, ikkitasiga tegishli ekanligini ko'rsatishdir. Ikkinchi bosqichda esa isbotlanganki, agar gap istalgan son uchun to'g'ri bo'lsa, u holda birinchi raqam uchun ham to'g'ri bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, bu uch, to'rt va boshqalar uchun to'g'ri. Natijalar chekkaga qo'yilgan yiqilgan dominolarning cheksiz chizig'i kabi birin-ketin "qo'llarga boradi": agar siz bittasini turtsangiz, hammasi tushadi.
Arifmetik progressiyalar uchun Remzi teoremasini isbotlash uchun van der Vaerden ancha nozik, qo‘sh induksiyani qo‘llagan. U har qanday qat'iy ranglar soni uchun n raqamini taklif qildi, agar har bir butun son bir va n orasida bo'lsa.
Arifmetik (va geometrik) progressiyalar uchun muammolar qadimgi Xitoyning "To'qqiz kitobdagi matematika" traktida ham mavjud, ammo unda hech qanday yig'ish formulasidan foydalanish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud emas.
Bizgacha yetib kelgan birinchi progressiya muammolari mahsulotlarni taqsimlash, meros taqsimoti va hokazolar kabi iqtisodiy hayot va ijtimoiy amaliyot talablari bilan bog‘liq.
Ahmes papirusida geometrik progressiyaning birinchi hadi va maxrajini bilgan holda uning n ta hadining yig'indisini topish talab qilinadigan masala bor.
Bitta mixxat lavhasidan xulosa qilishimiz mumkinki, oyni yangi oydan to to'lin oygacha kuzatib, bobilliklar quyidagi xulosaga kelishdi: yangi oydan keyingi birinchi besh kun ichida oy diskining yoritilishi kuchayadi. maxraji 2. bo‘lgan geometrik progressiya qonuniga ko‘ra, keyingi boshqa bir planshetda yig‘indili geometrik progressiya haqida so‘z boradi:
1+2+2 ² +…+2 ⁹ . yechim va javob S=512+(512-1), plastinkadagi ma'lumotlar muallif formuladan foydalanganligini ko'rsatadi.
S _n \u003d 2 ⁿ + (2 ⁿ -1),
Biroq, u erga qanday etib kelganini hech kim bilmaydi.
Bizning eramizning boshlariga to'g'ri keladigan quyidagi afsona uzoq vaqtdan beri juda mashhur.
“Hindiston qiroli Sheram shaxmat oʻyinining ixtirochisi, subʼyekti Setni hazil ixtirosi uchun mukofotlash uchun chaqirdi. Set, shohni masxara qilib, shaxmat taxtasining birinchi katakchasi uchun 1 dona bug'doy, ikkinchisi uchun 2 dona, uchinchisi uchun 4 dona va hokazolarni talab qildi. ma’lum bo‘ldiki, podshoh Setaning bu “kamtarona” istagini bajara olmagan.
^{Bu masalada 1, 2, 2 2} , 2 ³ , … 2 ⁶³ geometrik progressiyaning yig‘indisi haqida gapiramiz . Uning yig'indisi:
2 ⁶⁴ -1=18 446 744 073 709 551 615.
Bunday miqdordagi bug'doy donini faqat yuzasi Yer yuzasidan 2000 marta katta bo'lgan sayyora hosilidan yig'ib olish mumkin.
Qizig'i shundaki, xitoycha "To'qqiz kitobdagi matematika" geometrik progressiyalarga oid masalalarda maxraj 2 ga teng. Bu erda yig'ish formulalari mavjud emas. Mazmun jihatidan ba'zi Xitoy vazifalari to'quvchining mehnat unumdorligining o'sishi yoki kamayishini izohlaydi. Arifmetik va geometrik progressiyalarga misollar hind “siddxantalari”da ham uchraydi.
Geometrik progressiyalarning yig'indisi va har doim ham amaliy ehtiyojlarni qondirmaydigan tegishli masalalarni tuzish qadimgi va o'rta asrlarda ko'plab matematikani sevuvchilar tomonidan qo'llanilgan.
Qadimgi rus huquqiy to'plami "Rossiya haqiqati" ma'lum vaqt davomida chorva mollari va asalarilardan olingan nasllarga oid hisob-kitoblarni o'z ichiga oladi. Muayyan yerdan olingan don miqdori haqida va hokazo. Ulardan ba'zilari maxraji 2 ga teng bo'lgan geometrik progressiya yig'indisini hisoblaydi.Bu masalalar iqtisodiy va huquqiy ahamiyatga ega emas, balki matematika ishqibozlarining bunday masalalarning matematik mazmuniga bo'lgan qiziqishlarining rivojlanishi natijasi edi. Biroq, progressiya bo'yicha vazifalar birinchi marta arifmetik yoki geometrik progressiya qonuni qo'llanilishi mumkin bo'lgan ijtimoiy-iqtisodiy hodisalarni o'rganishdan tabiat hodisalarini kuzatish natijasida paydo bo'ldi.