Sonli ketma ketliklar tushunchasini

2-bob. Tarixiy faktlar va misollar.
2.1. Progressiyalar haqidagi ta'limotning rivojlanishi.
Lotin tilidagi progressiya (progressio) so'zi so'zma-so'z "oldinga siljish" degan ma'noni anglatadi ("taraqqiyot" so'zi kabi) va birinchi marta Rim muallifi Boethius (V-VI asrlar) tomonidan uchragan bo'lib, dastlab progressiya deb tushunilgan har qanday raqamli ketma-ketlikni anglatadi. uni bir yo'nalishda cheksiz davom ettirishga imkon beruvchi qonun, masalan, natural sonlar, ularning kvadratlari va kublari ketma-ketligi. O'rta asrlarning oxiri va yangi davrning boshida bu atama umumiy foydalanishni to'xtatadi. Masalan, 17-asrda J. Gregori progressiya oʻrniga “ketma-ket” atamasini qoʻllagan boʻlsa, yana bir mashhur ingliz matematigi J. Uollis cheksiz qatorlar uchun “cheksiz progressiyalar” atamasini qoʻllagan.
Hozirgi vaqtda biz progressiyalarni sonli ketma-ketlikning maxsus holatlari sifatida ko'rib chiqamiz.
Qadimgi bobilliklar va o'sha uzoq davrdagi boshqa xalqlar bizgacha etib kelgan muammolarni hal qilishning umumiy usullariga ega bo'lishlari mumkin. Biroq, bu amaliyotlar haqida kam narsa ma'lum.
Progressiyaga oid nazariy ma'lumotlar birinchi bo'lib qadimgi Yunonistonning bizgacha etib kelgan hujjatlarida uchraydi.
V asrda allaqachon Miloddan avvalgi. Yunonlar quyidagi progressiyalar va ularning summalarini bilishgan:
1+2+3+…+n= ,
2+4+6+…+2n=n(n+1),
1+3+6+…+(2n+1)=(n+1) ² va hokazo.
Psammitda Arximed birinchi marta arifmetik va geometrik progressiyalarni taqqoslaydi:
1,2,3,4,5,………………..
10.10 ² .10 ³ .10 ⁴ .10 ⁵ ,………….
Va ular orasidagi munosabatni ko'rsatadi, masalan:
, ya'ni. geometrik progressiyaning ikkita a'zosini ko'paytirish uchun arifmetik progressiyaning mos a'zolarini qo'shish va hosil bo'lgan yig'indini 10 ko'rsatkichi sifatida olish kifoya.
Yunonlar orasida geometrik progressiyalar nazariyasi uzluksiz geometrik nisbat deb ataladigan narsa bilan bog'liq edi:
a:b = b:a, bunda a, b, c raqamlari maxraj bilan geometrik progressiya hosil qiladi .
Progressiyalar proporsiyalarning davomi sifatida qaralgan, shuning uchun arifmetik va geometrik epithetslar proporsiyadan progressiyaga o‘tgan.
Progressiya haqidagi bu qarash 17 va hatto 18-asrlarning koʻpgina matematiklari tomonidan ham saqlanib qolgan. Barrouda topilgan belgi, so'ngra o'sha davrdagi boshqa ingliz olimlarida uzluksiz geometrik proporsiyani bildirish uchun XVIII asr ingliz va frantsuz darsliklarida geometrik progressiyani bildira boshlaganini shunday tushuntirish kerak. Analogiya bo'yicha ular arifmetik progressiyani belgilashni boshladilar.
Arximedning "Parabolaning kvadraturasi" asarida keltirilgan dalillaridan biri ham mohiyatan cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiyaning yig'indisiga borib taqaladi.
Geometriya va mexanikadan ba'zi muammolarni hal qilish uchun Arximed natural sonlar kvadratlari yig'indisi formulasini oldi, garchi u undan oldin ishlatilgan bo'lsa ham.
1 ² + 2 ² +3 ² + ... + n ² = 1/6n(n+1)(2n+1)
Progressiya bilan bog'liq ba'zi formulalar Xitoy va Hindiston olimlariga ma'lum edi. Demak, Aryabhatta (Vv.) umumiy atama, arifmetik progressiya yig‘indisi va hokazo formulalarni bilgan, Magavira (IXv.) quyidagi formuladan foydalangan: 1 ² + 2 ² +3 ² + ... + n ²= 1/6n(n+1)(2n+1). Va boshqa murakkab qatorlar. Biroq, ixtiyoriy arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisini topish qoidasi birinchi marta Pizalik Leonardoning "Abakus kitobi" (1202) da topilgan. N. Shuke ham «Raqamlar ilmi» (1484) asarida Arximed kabi arifmetik progressiyani geometrik progressiya bilan solishtirib, har qanday cheksiz kichik kamayuvchi geometrik progressiyani yig‘ishning umumiy qoidasini beradi. Cheksiz kamayuvchi progressiyani yig'ish formulasi P. Ferma va 17-asrning boshqa matematiklariga ma'lum edi.