141
oʻng chekli ayirma
deb ataluvchi formula bilan yozishimiz mumkin, bu yerda (
i
,
j
) –
tadqiqot sohasining (
x
,
y
) nuqtasiga mos keluvchi tugun. Bu formulaning bunday atal-
ishiga sabab unda funksiyaning tadqiqot nuqtasi va undan oʻngdagi nuqtalardagiqi-
ymatlaridan foydalanilganligida. Xuddi shunday tadqiqit nuqtasi va undan chapdagi
nuqtadagi fuksiya qiymatlaridan foydalansak, u holda ushbu
chap chekli ayirma
deb
ataluvchi formulaga kelamiz:
9.1-rasm.Tadqiqot sohasi.
9.2-rasm.Tadqiqot sohasini toʻr
bilan
qoplash sxemasi.
Xuddi shunday, ikkinchi tartibli xususiy hosila uchun ushbu
markaziy chekli ayirma
formulasini hosil qilamiz.
(1) tenglamani chekli ayirmalarda quyidagicha approksimatsiyalaymiz:
(9.2)
Bu yerda
t
– vaqt boʻyicha qadam;
k
– vaqt oʻzgarishini ifodalovchi indeks;
i
va
j
–
mos
x
va
y
koordinatalar boʻyicha oʻzgarishlarni ifodalovchi indekslar. (9.2) formu-
ladan koʻrinib turibdiki, faqat bitta qoʻshiluvchi (
k
+1) – vaqt qatlamidan bogʻliq, qol-
gan barcha qoʻshiluvchilar
k
-vaqt qatlamiga tegishli. Shuning uchun tadqiqot sohas-
ining barcha ichki nuqtalari uchun vaqtning keying qatlamida temperatura taqsimotini
hisoblash imkonini beruvchi quyidagi formulani yozamiz:
(9.3)
Sohaning chegara nuqtalari uchun esa temperaturning
qiymati chegaraviy
shartdan topiladi:
142
. (9.4)
Toʻr sohani toʻlaligicha qoplamaydi. Shuning uchun approksimatsiya sohasining
chegara nuqtalari deganda
L
chegara chizigʻiga yaqin boʻlgan toʻr tugunlarini
tushunamiz va shu tugunlarda (9.4) formula oʻrinli boʻladi.
Iteratsiya jarayoni (9.3) formula bilan hisoblanar ekan, yechimnning yaqinlash-
ishi quyidagi shart bilan tekshirilib boriladi:
(9.5)
bu yerda
- yetarlicha kichik musbat son.
Shunday qilib, hisoblash jarayonini quyidagi iteratsiyalarda bajarish mumkin:
1)
t
= 0,
k
= 0. Tadqiqot sohasi
D
ning barcha ichki nuqtalari uchun
,
chegarasi
L
dagi nuqtalar uchun esa
.
2) (9.3) formuladan foydalanib tadqiqot sohasi
D
ning barcha ichki nuqtalarida
temperatura taqsimotini,
uning chegarasi
L
da esa (9.4) formula boʻyicha
ni hisoblaymiz.
3) Agar (9.5) kriteriya bajarilmasa, u holda
t
=
t
+
t
,
k
=
k
+1 qiymatlar uchun
boshqaruмni 2-qadamga uzatamiz. Agar bushart bajarilsa, u holda iteratsion jarayon
toʻxtatiladi.
Hisoblash jarayonlari ustivorligini ta’minlash uchun (9.2)
ayirmali sxema usti-
vorligi shartini quyidagi shartdan tahlil qilish zarur:
1-Masala.
Tadqiqot sohasi 9.3-
rasmda tasvirlangandek kvadrat shak-
lida berilgan. Tadqiqot sohasi boʻyicha
toʻr sxemasi 9.4-rasmda tasvirlangan.
Sohaning
chetlarida
temperatura
berilgan.
9.3-rasm. Tadqiqot obyekti
9.4-rasm. Tadqiqot sohasi boʻyicha toʻr
sxemasi.
143
2-masala.
Tadqiqot sohasining ichida (15, 20), (25, 10) va (10, 10) nuqtalarda
manba mavjud hamda asosiy tenglamada Ф
tt
= 0 va Ф
xx
+ Ф
yy
= f(x,y) desak, (9.3)
iteratsion usul bilan chegaraviy masalaning Mathcad
dasturi yordamida yechimi
quyidagi natijani beradi:
Do'stlaringiz bilan baham: