Samarqand davlat universiteti hisoblash mexanikasining sonli

8-BOB. ELLIPTIK TURDAGI HAR XIL CHEGARAVIY SHARLI IKKI 
OʻLCHOVLI TENGLAMANI MATEMATIK PAKETLAR YORDAMIDA 
SONLI YECHISH 
Quyida elliptik turdagi tenglamali chegaraviy masalalarni chekli ayirmalar usuli 
bilan oshkor va oshkormas sxemalar boʻyicha har xil chegaraviy shartlarda yechamiz.
 
1-masala.
Kvadrat shaklidagi plastinkaning chetlarida issiqlik taqsimoti, uning 
ichida oʻzgarmas issiqlik manbai boʻlgan holda plastinka boʻylab issiqlikning 
stationar taqsimoti masalalarini qaraylik. Kvadrat shaklidagi plastinkada (8.1-rasm) 
temperaturaning statsionar taqsimoti masalasini ushbu 
T
xx
 + T
yy
 = f 
Puasson tenglamasini uning quyidagi shartlari bilan yechish talab qilinadi: 
T(Г
1
)=273+97
y
3
K; T(Г
2
)=273+85
x
2
K;
T(Г
3
)=358-28
y
2
K; T(Г
4
)=350+20 cos(

x) K;
Bu chegaraviy masalani relaksatsiyalar usuli bilan 
Mathcad paketidan foydalanib yechaylik. 
Buning uchun Puasson tenglamasining quyidagi 
besh nuqtali «xoch» sxema boʻyicha chekli ayirmali 
approksimatsiyasidan foydalanamiz: 
8.1-rasm. Tadqiqot sohasi. 
a
i
,
j
u
i+
1,
j
 + b
i
,
j
u
i-
1,
j
 + c
i
,
j
u
i
,
j+
1
 + d
i
,
j
u
i,j-
1
 + e
i
,
j
u
i
,
j
 = f
i
,
j
. 
MATHCAD paketida maxsus relax funksiyasi mavjud boʻlib, u Puasson 
tenglamasining taqribiy yechimini relaksatsiyalar usulidan foydalanib topib beradi. 
Bu funksiyaning umumiy koʻrinishi quyidagicha [9]: 
relax(a,b,c,d.e.f.u0,R), 
bu yerda a,b,c,d,e – yuqoridagi chekli ayirmali tenglamaning koeffisiyentlaridan ibo-
rat oʻlchamlari bir xil kvadrat matritsalar; f – yechim izlanayotgan sohaning 
nuqtalarida tenglamaning oʻng tarafiga kiruvchi 
f
(
x
,
y
) funksiyaning berilgan 
qiymatlari; u0 – qiymatlari sohaning chegara tugunlarida va boshlangʻich yaqinlash-
ishda ma’lum boʻlgan kvadrat matritsa; R – Yakob iteratsiyasining spektral radiusi. R 
parameter relaksatsiya algoritmining yaqinlashishini boshqaradi. R ning optimal 
qiymati masalaning parametrlaridan bogʻliq va u 0Endi masalani sonli yechishning dasturi va uning natijalarini keltiraylik. 
Dastlab teng oʻlchovli toʻrni tuzamiz: 
dx:=0.1 dy:=0.1 i:=0..10 j:=0..10 
x
i
:=dx

i y
j
:=dy

j 
Chegaraviy sharlarni tuzib olamiz: 
T1(y) :=273+97
y
3
T2(x) :=273+85
x
2
;

---

138 
T3(y) :=358-28
y
2
T4(x) :=350+20

cos(

x)
T
0,i 
:=T2(x
i
) T
j,10 
:=T3(y
j
) T
10,i 
:=T4(x
i
) T
j,0 
:=T1(y
j
) 
Differensial tenglamaning koeffisiyent-larini tuzib olamiz: 
a
j,i 
:=1 b
j,i 
:=1 c
j,i 
:=1 d
j,i 
:=1 e
j,i 
:=-4 f
j,i 
:=0 
Endi esa tenglamalar sistemasini yechamiz:
R:=0.5 T:=relax(a,b,c,d,e,f,T,R)
Plastinkaning tugunlarida temperaturaning qiymatlari quyidagi jadval shaklida 
ifodalanadi: 
Plastinkaning tugunlarida temperaturaning qiymatlarini quyidagi grafik shaklida 
tasvirlaymiz (3.2-rasm). 
T 
8.2-rasm. Plastinka boʻylab temperatura taqsimoti grafigi (1-masala). 
 

---

139 
2-masala.
Faraz qilaylik, 4-masalada 
f
(
x
,
y
)

0 boʻlsin, ya’ni Puasson 
tenglamasida ikkita nuqtada manba mavjud Ushbu chegaraviy masalani ham, xuddi 
yuqoridagidek, Mathcad matematik paketi yordamida sonli yechamiz [12]: 
n:=16 i:=0..n j:=0..n
n
i
x
i

:
n
j
y
j

:
M
i,j
:=0 M
6,8
:=10 M
10,8
:=-10 a
i,j
:=1 
b:=a c:=a d:=a f:=M e:=-4

a u
i,j
:=0
u
n,j
:=1-2

y
j
u
i,n
:=-1 u
0,j
:= 1-2

y
j
u
i,0
:=1 
R:=0.5 Z:=relax(a,b,c,d,e,f,u,R) 
Hisob natijalarini grafiklarda sirt va sath chiziqlari 3.3-rasmda tasvirlangan. 
3-masala.
Kvadrat plastinkaning chetlarida chegaraviy shartlar nolga teng desak 
(3.13-masala), 
f
(
x
,
y
)

0 hol uchun dastur va uning natijalarini keltiramiz: 
n:=32 i:=0..n j:=0..n
n
i
x
i

:
n
j
y
j

:
M
i,j
:=0 a
i,j
:=1 b:=a c:=a d:=a e:=-4

a
f
i,j
:=sin(y
j
)

exp(-x
i
) u
i,j
:=0 Z:=multigrid(f,3) 
8.3-rasm. Plastinka boʻylab temperatura taqsimoti grafigi (2-masala). 
Z
8.4-rasm. Plastinka boʻylab temperatura taqsimoti grafigi (3-masala). 

---

140