Samarqand davlat universiteti hisoblash mexanikasining sonli

1-masala.
Quyidagi issiqlik oʻtkazuvchanlik masalasini kollokatsiyalar usuli bi-
lan yeching. 7.4-rasmda keltirilgan koʻndalang kesimi tekis kvadrat shaklidagi che-
ksiz uzunlikdagi quvur uchun temperatura taqsimotini quyidagi chegaraviy shartlarda 
aniqlang: 
1) tadqiqot sohasi kesimining yuqori chegarasi Г
1
da oʻzgarmas temperatura 
berilgan: 
T
yu
= 10 K; 
2) tadqiqot sohasi kesimining quyi chegarasi Г
2
da oʻzgarmas temperatura beril-
gan: 
T
qu
= 0 K; 
3) tadqiqot sohasi kesimining chap chegarasi Г
3
da oʻzgarmas issiqlik oqimi 
berilgan: 
q
n
= 1 Vt/m
2
; 

---

134 
4) tadqiqot sohasi kesimining oʻng chegarasi Г
4
da issiqlik uzatilish koeffisiyenti 
h
= 1 Vt/(m
2
·K) boʻlgan konvektiv issiqlik almashinish sharti tashqi muhitning 
T
*
∞
= 
5 K temperaturasida bajariladi. 
Issiqlik oʻtkazuvchanlik koeffisiyenti 
λ
= 1 Vt/(m·K); kvadrat kesimning 
oʻlchamlari 
a
= 2 m; ichki issiqlik manbalarining solishtirma quvvati 
q
s
= 1. 
Kollokatsiya nuqtalari soni toʻqqizta boʻlib, ularning joylashishi 7.5-rasmda tas-
virlangan. Ulardan 8 tasi chegarada va 1 tasi ichki sohada joylashgan. Koordinata 
oʻqlari kvadratning mos tomonlariga parallel, koordinatalar markazi esa kvadrat 
markazi bilan ustma-ust tushirilgan. 
7.4-rasm. Tadqiqot sohasi. 7.5-rasm. Kollokatsiya nuqtalari
va ularning joylashishi. 
Tadqiqot sohasining burchak nuqtalari faqat bitta chegaraviy shartni, bizning ho-
limizda 1) chegaraviy shartni qanoatlantirsin. Bu kelishuvimizga koʻra 1,2,3 chegara 
nuqtalarda 
T
yu
= 10 K temperatura, 7,8,9 chegara nuqtalarda 
T
qu
= 0 K temperatura, 4 
chegara nuqtada 
q
n
= 1 Vt/m
2
issiqlik oqimi, 6 chegara nuqtada issiqlik uzatilish 
koeffisiyenti 
h
= 1 Vt/(m
2
·K) boʻlgan konvektiv issiqlik almashinish sharti tashqi 
muhitning 
T
*
∞
= 5 K temperaturasida berilgan boʻladi. 5 ichki nuqtada esa issiqlik 
oʻtkazuvchanlik tenglamasi qanoatlantiriladi. 
Tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng boʻlishi uchun ap-
proksimatsiyalovchi yechimni quyidagicha yozib olamiz: 
(7.17) 
ψ
i
funksiyalar sistemasi sifatida koʻphadlarni olamiz. U holda 
T
(
x
,
y
) funksiya 
quyidagi koʻrinishni oladi: 

---

135 
T
(
x
,
y
) funksiyaning bu ifodasini issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi va che-
garaviy shartlarga qoʻyib, quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz: 
(7.18) 
Bu yerda
i
=1,2 yoki
j
=1,2 da
yoki
ifoda mos 
x
yoki 
y
ning nol qiymatida nolga aylanadi. 
Issiqlik oqimi berilgan chegaraviy shartlarda quyidagi tenglamalarga kelamiz: 
(7.19) 
Konvektiv issiqlik almashinish shartini quyidagicha yozamiz: 
(7.20) 
Kesimning quyi yoki yuqori chegaralari uchun mos ravishda quyidagi 
tenglamalar hosil qilinadi: 
yoki 

---

136 
(7.21) 
(7.18)-(7.21) formulalarni birlashtiramiz, unda ular quyidagicha yoziladi: 
- issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi 
(7.22) 
-
oqim berilgan chegaraviy shartlar 
(7.23) 
-
komvektiv issiqlik almashinish berilgan chegaraviy shartlar 
(7.24) 
-
temperatura berilgan chegaraviy shartlar 
(7.25)
(7.26) 
(7.23) tenglama 5 nuqtada, (7.24) tenglama 4 nuqtada, (7.25) tenglama 6 nuqtada, 
(7.26) tenglama 7-9 nuqtalarda. (7.26) tenglama 1-3 nuqtalarda qanoatlintiril-
ganligidan quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 
Bu chiziqli tenglamalar sistemasini 
a
i,j
noma’lumlarga nisbatan yechib, bu 
yechimlarni (7.18) ifodaga olib borib qoʻyamiz va natijada 
T
(
x
,
y
) noma’lum funksi-
yaning taqribiy ifodasini hosil qilamiz. 

---

137