|
9.2. Dirixle masalasini o‘zgaruvchan yo‘nalishlar usuli bilan yechish.
Masalaning qo‘yilishi.
Ushbu
1
0
,
1
0
:
,
G
2
1
2
1
x
x
x
x
sohada
0
,
,
,
,
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
x
x
f
U
x
x
q
x
U
x
x
k
x
x
U
x
x
k
x
(9.6)
tenglama, G sohaning Г – kvadrat chegarasida
0
U
(9.7)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi
U
(
x
1
,
x
2
) funksiya uchun Dirixle masalasini
o‘zgaruvchan yo‘nalishlar usuli bilan yeching, bunda
;
1
)
2
2
/
3
(
)
2
2
/
3
(
,
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
1
,
1
2
1
1
x
x
x
k
;
2
1
,
2
2
1
2
x
x
x
k
;
1
2
1
1
,
x
x
x
q
.
(9.6), (9.7) masalaning aniq yechimi:
2
2
1
1
1
1
x
x
x
x
U
.
Dirixle masalasi quyidagicha
: Ochiq
G
kvadratda (9.6) tenglamani qanoatlan-
tiruvchi va shu kvadratning chegarasida 0 ga aylanuvchi, ya’ni (9.7) shartni qano-
atlantiruvchi va ochiq
G
sohada uzluksiz
U
(
x
1
,
x
2
) funksiyani topish talab etiladi.
Bunda
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
,
,
,
,
,
,
,
x
x
f
x
x
q
x
x
k
x
x
k
lar quyidagi shartlarni qanoatlantiru-
vchi yetarlicha silliq funksiyalar:
144
2
2
1
1
1
,
0
c
x
x
k
c
;
2
2
1
1
,
0
d
x
x
q
d
. (9.8)
(9.6), (9.7) masala yagona
U
(
x
1
,
x
2
) yechimga ega.
Masalaning chekli ayirmali approksimatsiyasi.
Qo‘yilgan Dirixle masalasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish uchun kvadrat
sohani
N
h
1
teng qadamlar bilan N
N kvadratchalarga ajratamiz, bunga ko‘ra
koordinatalar bo‘yicha bo‘lishlar
kh
x
k
1
,
mh
x
m
2
, ularga mos funksiyaning
qiymatlari esa
m
k
km
x
x
f
f
2
1
,
bo‘ladi.
Quyidagi to‘rni quramiz:
N
m
k
x
x
w
m
k
h
...
1
,
0
,
:
,
2
1
,
1
...
2
,
1
,
:
,
'
2
1
N
m
k
x
x
w
m
k
h
h
h
h
w
w
w
'
*
,
(
*
h
w
– chegara soha
G
da yotuvchi tugunlar to‘plami)
Berilgan (9.6), (9.7) differensial masalani quyidagi ayirmali masala bilan
almashtiramiz:
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
f
y
q
h
y
y
a
h
y
y
a
h
h
y
y
a
h
y
y
a
h
,
,
,
1
,
,
1
,
,
1
,
2
1
,
,
1
,
1
,
,
,
1
1
,
1
1
1
,(9.9)
*
h
w
chegarada
0
,
m
k
y
, bunda
1
...
2
,
1
,
N
m
k
,
2
,
,
,
2
2
1
2
2
,
2
1
1
1
,
h
x
x
k
a
x
h
x
k
a
m
k
m
k
m
k
m
k
,
m
k
m
k
x
x
f
f
2
1
,
,
,
m
k
m
k
x
x
q
q
2
1
,
,
. (9.10)
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
h
y
y
a
h
y
y
a
h
y
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
,
1
,
1
,
,
,
1
1
,
1
,
1
1
, (9.11)
h
y
y
a
h
y
y
a
h
y
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
1
,
,
2
,
,
1
,
2
1
,
,
2
1
. (9.12)
Dirixle masalasi uchun o‘zgaruvchan yo‘nalishlar usuli.
(9.9), (9.10) masala uchun o‘zgaruvchan yo‘nalishlar yoki kasr qadamlarning
ikki qatlamli ayirmali sxemasini yozamiz:
m
k
v
m
k
m
k
v
m
k
v
m
k
v
m
k
v
m
k
f
y
q
y
y
y
y
,
1
,
,
1
,
2
2
1
,
1
1
,
2
1
,
2
; (9.13)
m
k
v
m
k
m
k
v
m
k
v
m
k
v
m
k
v
m
k
f
y
q
y
y
y
y
,
2
1
,
,
,
2
2
1
,
1
2
1
,
,
2
,
,...
2
,
1
,
1
,...
2
,
1
,
v
N
m
k
. (9.14)
(9.13), (9.14) ayirmali sxemada vaqt bo‘yicha
qadam ikkita yarim qadamga
bo‘linadi. (9.13) ayirmali tenglama birinchi yarim qadamga taalluqli, ynda
1
,
v
m
k
y
va
1
,
2
v
m
k
y
lar oldindan ma’lum (xususan,
0
,
0, ,
0,1,...
k m
y
k m
N
), noma’lumlar esa
2
1
v
indeksi deb hisoblanadi. Tenglikning o‘ng tarafi beriladi. (9.13) ayirmali tenglamani
2
ga ko‘paytirib, uni quyidagicha yozamiz:
145
2
1
,
2
1
,
1
2
1
,
1
2
1
,
2
1
,
1
2
1
,
2
1
,
1
2
1
,
2
2
2
1
2
v
m
k
v
m
k
m
k
v
m
k
m
k
m
k
v
m
k
m
k
F
y
h
a
y
h
a
h
a
y
h
a
, (9.15)
bu yerda quyidagilar ma’lum:
1
,
1
,
,
,
1
,
2
2
/
1
,
)
(
2
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
y
y
q
f
y
F
.
(9.15) ayirmali tenglamaga quyidagi chegaraviy shartlarni biriktiramiz:
0
,
0
2
1
,
2
1
,
0
v
m
N
v
m
y
y
. (9.16)
(9.15), (9.16) ayirmali masala har bir
m
(
1
,...
2
,
1
N
m
) ning fiksirlangan qiymati
uchun o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan
N
-1 ta uch nuqtali ayirmali chegaraviy masalalarga
ajraladi. (9.15), (9.16) ayirmali chegaraviy masala har bir
m
uchun progonka usuli
bilan alohida yechiladi. Progonka
k
indeks, ya’ni
1
x
o‘q yo‘nalishida amalga
oshiriladi.
Har bir
2
1
v
nomerli oraliq qatlam uchun barcha
2
1
,
v
m
k
y
noma’lumlar
topilgandan so‘ng ularni o‘ngdan ikkinchi yarim qadamga mos keluvchi (9.14)
ayirmali tenglamalarga o‘tkazamiz. Bu ayirmali tenglamani quyidagicha yozamiz:
v
m
k
v
m
k
m
k
v
m
k
m
k
m
k
v
m
k
m
k
F
y
h
a
y
h
a
h
a
y
h
a
,
1
,
2
2
1
,
,
2
2
,
2
2
1
,
1
,
2
2
,
2
2
2
1
2
, (9.17)
bu yerda quyidagilar ma’lum:
2
/
1
,
2
/
1
,
,
,
2
/
1
,
1
,
)
(
2
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
y
y
q
f
y
F
.
(9.17) ayirmali tenglamaga quyidagi chegaraviy shartlarni biriktiramiz:
0
,
0
,
0
,
v
N
k
v
k
y
y
. (9.18)
(9.17), (9.18) ayirmali masala har bir
k
(
1
,...
2
,
1
N
k
) ning fiksirlangan qiymati
uchun o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan
N
-1 ta uch nuqtali ayirmali chegaraviy masalalarga
ajraladi. (9.16) ayirmali chegaraviy masala har bir
k
uchun progonka usuli bilan
alohida yechiladi. Progonka
m
indeks, ya’ni
2
x
o‘q yo‘nalishida amalga oshiriladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
