Samarqand davlat universiteti hisoblash mexanikasining sonli

 
7.4. Masalaning differensial shaklda qo'yilishi. 
Tekislik 
Oxy
da 
Г
kontur bilan chegaralangan bir xil issiqlik oʻtkazuvchanlik 
xossasiga ega birjinsli 
S 
sohani qaraylik (7.3-rasm). 7.3-rasmda koʻrsatilgan no-
ma’lum temperatura taqsimotini uning ozgina qoʻzgʻalishlari holatida topaylik. Bun-
da S sohada issiqlik oʻtkazuvchanlik differensial tenglamasi quyidagicha yoziladi: 
λ
Δ
T
(
x
,
y
) + 
q
s
= 0. (7.11) 
Bu yerda λ – issiqlik oʻtkazuvchanlik koeffisiyenti; 
q
s
– ichki issiqlik manbain-
ing solishtirma quvvati; Δ – Laplas operatori. 
7.3-rasm.Tadqiqot sohasi. 

---

132 
Chegaraviy shartlar 3 xil turda boʻlishi mumkin. Faraz qilaylik, Г kontur 3 
qismga ajratilgan, har bir boʻlakda esa bir turdagi chegaraviy shartlar beriladi: 
, (7.12) 
bu yerda 
K
, 
M
, 
N
– chegaraviy shart berilgan chegaraning bir xil turdagi boʻlakchalari 
soni. 
1) konturning Г
T
qismida temperatura berilgan: 
(7.13) 
2) konturning Г
q
qismida issiqlik oqimi berilgan: 
, (7.14) 
bu yerda 
n
– sirtga koordinata boʻyicha oʻtkazilgan normal; 
q
n
*
- issiqlik oqimining 
zichligi (agar jismda issiqlik yoʻqotilishi kuzatilsa, u holda u musbat deb hisobla-
nadi). 
3) konturning Г
h
qismida konvektiv issiqlik almashinish kuzatiladi: 
, (7.15) 
bu yerda 
h
– konveksiya koeffisiyenti; 
T
n
*
- tashqi muhit temperaturasi. 
Shunday qilib, noma’lum 
T
(
x
,
y
) funksiyani topish uchun 
S
sohaning ichida 
(7.11) tenglamani qanoatlantiriluvchi va tashqi Г konturida (7.13) – (7.15) chegaraviy 
shartlar berilgan chegaraviy masalani yechish talab etiladi. 
Agar noma’lum funksiya ma’lum boʻlgan funksiyalarning chekli yigʻindisi 
koʻrinishida olingan boʻlsa, u holda masalaning aniq yechimi topilgan deb faraz 
qilamiz. Bu aniq yechim tadqiqot sohasining ichida (7.11) tenglamani va barcha 
(7.13) – (7.15) chegaraviy shartlarni aniqlanish sohasining ixtiyoriy nuqtasida qano-
atlantiradi. Agar yechim ma’lum funksiyalar sistemasining cheksiz qatori 
koʻrinishida olingan boʻlsa, u holda bunday yechim analitik yechim deb ataladi. Bu 
yechim ham tadqiqot sohasining ichida (7.11) tenglamani va barcha (7.13) – (7.15) 
chegaraviy shartlarni aniqlanish sohasining ixtiyoriy nuqtasida qanoatlantiradi, ammo 
bunda qator yigʻindisi doimo biror xatolik bilan olinadi. Sonli yechimda esa funksi-
yaning koʻrinishiga, dastlabki tenglama va chegaraviy shartlarning koʻrinishiga biroz 
chetlanish berish orqali olinadi va hokazo. Shuning uchun sonli yechim boshidanoq 
taqribiy boʻlib, u aniq yechim emas. U biror funksiya koʻrinishida ifodalanishi mum-
kin yoki nuqtalar sistemasida shu funksiyaning qiymatlari toʻplami koʻrinishida 
ifodalanishi ham mumkin.