Samarqand davlat universiteti hisoblash mexanikasining sonli

Mustaql ish topshiriqlari 
1. 
Tortuvning bo‘ylama tebranishi quyidagi tenglama bilan 
ifodalanadi: 
2
2
2
2
t
u
E
x
u






, 
 
bu yerda 
E
– elastiklik moduli; 

– sterjen materialining zichligi. Tortuv 
L
uzunlikka ega bo‘lib, uning chetlari qistirib mahkamlangan. Tortuvning o‘rtasidan 
ushlab, rasmda ko‘rsatilgandek, u shunday deformatsiyalantiriladiki, bunda uning 
bo‘ylama ko‘chishlari 

u
ga teng bo‘ladi, ya’ni 











.
2
/
agar
),
/
1
(
2
,
2
/
0
agar
,
/
2
)
0
,
(
L
x
L
L
x
u
L
x
L
ux
t
x
u
Keyin tortuv qo‘yib yuboriladi. Quyidagi jadvalda keltirilgan ma’lumotlar asosida 
u
(
x
,
t
) tebranishlarni hisoblang. 
Parametr 
Variantlar 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
L, 
sm
10 
18 
32 
15 
25 
6 

u, 
sm
0,1 
0,2 
0,15 
0,1 
0,2 
0,15 
E
, N/m
2
110·10
9 
120·10
9 
97·10
9 
86·10
9 
120·10
9 
82·10
9 

, kg/m
3 
4,3·10
3 
5,9·10
3 
6,7·10
3 
8,5·10
3 
7,4·10
3 
9,7·10
3 
2. 
Ishqalanishdagi yo‘qotishlar hisobga olinmagan holda rasmda tasvirlangam yupqa 
plastinkaning tebranishlari quyidagi normalashtirilgan to‘lqin tenglamasi bilan 
ifodalanadi:
,
0
2
2





u
t
u
bu yerda 
u
(
x
,
y
,
t
) – plastinkaning deformatsiyasi; 

–
Laplas opera-tori; 
x
, 
y 
–koordinatalar; 
t
–vaqt. Quyidagi 

---

123 
jadvalda keltirilgan 
a 
va 
b
ning qiymatlarida, 
G
1
, 
G
2
,
 G
3
va
G
4
chegaraviy shartlarda hamda 
u
(
t 
= 0) va 

u
/

t
(
t 
= 0) boshlang‘ich 
shartlardagi tebranishlarni hisoblang. 
Parametr 
Variantlar 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
a, 
sm
1 
2 
3 
2 
3 
2 
b, 
sm
2 
1 
2 
3 
1 
2 
Ch
eg
ara
v
iy
sh
art
lar
G
1
u
=0 

u
/

n
=0 
u
=0 
G
2

u
/

n
=0 
u
=0 

u
/

n
=0 
G
3
u
=0 

u
/

n
=0 
u
=0 
G
4

u
/

n
=0 
u
=0 

u
/

n
=0 
u
(
t
=0)
arctg[cos(

x
/
a
)] 
tg[cos(

y
/
b
)] 
2cos(

x
/
a
) 

u
/

t
(
t
=0)
sin(2

x
/
a
) · 
sin(

y
/
b
) 
exp[sin(

x
/
a
)] · 
sin(2

y
/
b
) 
tg[sin(2

x
/
a
)] · 
sin(

y
/
b
) 
 
3.
Ushbu 
u
tt

u
xx

f
(
x
,
t
), 0<
x
<1, 
t
>0 tenglamaning 
u
(
x
,0)

f
1
(
x
), 
u
t
(
x
,0)

f
2
(
x
), 0

x

1 
boshlangʻich shartlarni va 
u
(0,
t
)

μ
(
t
), 
u
(1,
t
)

ν
(
t
), 
t
>0 chegaraviy shartlarni 
qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini har xil ayirmali sxemalardan foydalanib 
toping, hisoblashlarni dasturlash tillaridan (Pascal, Delphi, C++) biridan yoki MS 
Excel dan foydalanib bajaring, natijalarni matematik paketlardan (Maple, 
MathCad, MatLab, Matematica) biridan foydalanib topilgan aniq yechim bilan 
taqqoslang (bu yerda 
f
(
x
,
t
) funksiyani 
f
1
(
x
),
f
2
(
x
), 
μ
(
t
) va 
ν
(
t
) funksiyalarning 
kombinatsiyasi tarzida tanlab olishingiz mumkin).
Topshiriq variantlari: 
№ 
f
1
(
x
) 
f
2
(
x
) 
μ
(
t
) 
ν
(
t
) 
1. 
3(2
x
+sin
x
) 
cos(
x
+2) 3
t
-1 
4(
t
+1) 
2. 
x
cos
x
-4 
x
+(5-4
x
) 
2
t
+1 
-
t
3. 
5cos
x
/2+1 
4
x
2 
1+2
t
5+
t
4. 
(2
x
+1.5)-2 
sin(x+3.2) 
t
-7.5 
3-
t
5. 
2
x
(
x
+1)+4.3 
3sin
x
0.3 
4.3+
t
6. 
(
x
+0.2)*sin
x
/2 
4+6
x
2 
0 
3.2(
t
+1) 
7. 
2
x
sin
x
(2x+1)
2
2
t
5+
t
8. 
3
x
+(1-4
x
3
) 
cos(3
x
+1.5) 
2
t
1-
t
9. 
x
(2
x
-0.5) 
cos2
x
t
2
2.5 
10. (
x
+1)sin
x
x
2
+8
x
0 
3.5
t

---

124 
11. (1-
x
)+cos
x
/2 
2
x
+1 
2
t
+1 
t

1 
12. 2.5
x
(
x
+1) 
x
cos
x
2
t
2
t
-1 
13. 2.5(
x
2
+1) 
x
sin2
x
0.5+3
t
1 
14. (
x
+1)+sin
x
/2 
1-
x
2
0.5 
8 
15. cos
x
-6+3
x
x
2
(2
x
+3) 
2.5
t
t
-1 
16. (1-
x
2
)cos
x
2
x
+5.6 
1+1.4
t
2+
t
17. (
x
+0.5)
2
(3
x
+1)sin
x
2.5(14.5+
t
) 
3.25 
18. 1.2
x
-
x
2
(
x
+2.6)sin
x
5 
2.2+0.5
t
19. (
x
+0.5)(
x
+1) 
cos(x+3.3) 
3.5 
3-2
t
20. 0.5(
x
+1)
2
(
x
+6.5)cos
x
2.5 
4-3
t
21. (
x
+3.4)sin
x
(2
x
+3)
2
1.5
t
2 
22. (2-x)sin
x
(
x
+0.6)
2
6.5
t
3 
23. 
x
cos
x
/2 
2
x
2
t
-1 
2
t
2
24. (
x
+0.4)cos
x
/2 
2.3(
x
2
+1) 
2.4 
2.2
t
25. (1-
x
2
)+
x
3sin(
x
+2.4) 
3 
(
t
+1)
2
26. 2.4(
x
+1.5)
2
x
sin(
x
+1.6) 
2.1+0.5
t
0.9 
27. (
x
2
+6.5)cos
x
(
x
+1.7)
2
1.5 
2
t
-1.5 
28. (
x
+2)(2.5
x
+1) 
2sin(
x
+1/6) 
2
t
4.5-3
t
29. (
x
2
+1)+(1-3
x
) 
2-3sin2
x
t+1 
0.5
t
30. 3(
x
+1.2)sin
x
/2 
4+2
x
2
5.6
t
1.2 
Ushbu variantlarni 
u
tt

u
xx

F
(
u
,
u
x
,
x
,
t
)+
 f
(
x
,
t
) nochiziqli tenglama uchun rivojlantiring. 
 
Sinov savollari 
 
1.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar klassifikatsiyasini tushuntiring. 
2.
Qanday turdagi tenglamalar giperbolik turda deb aytiladi? 
3.
Chegaraviy masalaning qoʻyilishini tushuntiring. 
4.
Chegaraviy shartlar va ularning turlarini tushuntiring. 
5.
Matematik modeli giperbolik turdagi tenglamaga keltiriladigan fizik-mexanik 
jarayonlarga misollar keltiring. 
6.
Toʻrlar usulining asosiy mazmuni nimadan iborat? 
7.
Ayirmali sxema deganda nimani tushunasiz. 
8.
Giperbolik turdagi tenglamaning chekli ayirmali approksimatsiyasini tushuntir-
ing. 
9.
Chekli ayirmali sxema shablonlari deganda nimani tushunasiz? 
10.
Oshkor va oshkormas sxemalarni tushuntiring. 

---

125 
11.
Chekli ayirmali sxema ustivorligi daganda nimani tushunasiz? 
12.
Approksimatsiya xatoligi deganda nimani tushunasiz? 
13.
Chegaraviy shartlarning chekli ayirmali approksimatsiyasini tushuntiring. 
14.
Giperbolik turdagi tenglamani Maple matematik paket yordamida sonli yechini 
qanday tushunasiz? 
15.
Giperbolik turdagi tenglamani Mathcad matematik paket yordamida sonli yechi-
ni qanday tushunasiz? 
16.
Giperbolik turdagi tenglamani Matlab matematik paket yordamida sonli yechini 
qanday tushunasiz? 
 

---

126 
7-BOB. ELLIPTIK TURDAGI BIR OʻLCHOVLI TENGLAMANI SONLI 
YECHISH HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHALAR 
 
7.1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida tushunchalar. 
 
Ikki noma’lumli o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan 
u=u
(
x
,
y
) funksiyaning ikkinchi 
tartibli xususiy hosilali differentsial tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz.
 
0
)
,
,
,
,
,
,
,
(

yy
xy
xx
y
x
u
u
u
u
u
u
y
x
F
, 
(7.1) 
bu yerda 
x
, 
y
erkli o‘zgaruvchilar, 
u
izlanayotgan noma’lum funktsiya, 
yy
xy
xx
y
x
u
u
u
u
u
,
,
,
,
lar 
x
, 
y
erkli o‘zgaruvchilar bo‘yicha birinchi va ikkinchi tartibli 
xususiy hosilalar.
(7.1) tenglamaning yechimi deb, uni ayniyatga aylanti-ruvchi 
u=u
(
x,y
)
 
funksiyaga aytiladi. Bu yechim grafigi 
Oxyu
fazoda sirtni ifodalaydi. 
Agar (7.1) tenglamada 
u
izlanayotgan noma’lum funksiya va uning xususiy 
hosilalari 
yy
xy
xx
y
x
u
u
u
u
u
,
,
,
,
ning darajalari birinchi bo‘lsa hamda ularning 
ko‘paytmalari ishtirok etmasa bunday tenglama chiziqli deb ataladi. Uni quyidagicha 
yozish mumkin: 
)
,
(
2
2
2
2
2
2
y
x
F
cu
y
u
b
x
u
а
y
u
С
у
x
u
В
x
u
А

















, (7.2) 
bu yerda 
A,B,C
,
a,b,c
koeffitsentlar o‘zgarmas
 
yoki
x,y
erkli o‘zgaruvchilarning 
funksiyalari bo‘lishi mumkin.
(7.2) o‘zgarmas koeffitsentli tenglama bo‘lsin.
(7.2) tenglama diskriminanti 
D=AC-B
2
ni hisoblaymiz, buning ishorasiga qarab 
tenglama turini aniqlaymiz: 

agar
D>0
(7.2) elliptik turdagi tenglama;

agar
D=0
(7.2) parabolik turdagi tenglama; 

agar
D<0
(7.2) giperbolik turdagi tenglama.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar bilan ifodalanuvchi jarayonlarning mu-
him tashkil etuvchilaridan biri bu tenglamalarning oʻzidan tashqari ularga mos 
qoʻshimcha shartlardir
. 
Giperbolik vaparabolik turdagi tenglamalar uchun erkli oʻzgaruvchi t vaqtga 
nisbatan muhit yoki sistemaning boshlangʻich holatini ifodalovchi 
boshlangʻich 
shartlar
kiritiladi. 
x
,
y
,
z
koordinatalar boʻyicha esa 
chegaraviy shartlar
kiri-
tiladi.Issiqlik jarayonlari masalalarida, masalan ular muhit tadqiqot sohasining chega-
ralaridagi temperatura taqsimotini tavsiflaydi.Elliptik tenglamali masalalarda esa t 
vaqt qatnashmaydi, unda faqat 
x
,
y
,
z
koordinatalar boʻyicha chegaraviy shartlar kiri-
tiladi,masalaning oʻzi esa 
chegaraviy masala
deb ataladi. 

---

127 
Agar chegaraviy shart 
u
funksiyaning chegaradagi taqsimotini ifodalasa, u holda 
bu shart 
Dirixle sharti
deb ataladi.Hisob sohasining chegarasida hosila bilan ifoda-
lanuvchi ushbu
shart bilan yozilsa, u holda bus hart 
Neyman sharti
deb ataladi, bu yerda 
n
– tadqiqot sohasi chegarasiga qoʻyilgan birlik normal.Agar 
chegaraviy shart yuqoridagi ikkala chegaraviy shartlar kombinatsiyasidan tuzilgan 
boʻlsa, u holda bu 
aralash chegaraviy shart
deb ataladi. 
Amaliyotda bunday chegaraviy masalalarni yechishning koʻpgina usullari 
mavjud, masalan, xarakteristikalar usuli, oʻzgaruvchilarni ajratish usuli, manbalar 
usuli, taqribiy hisob usullari. Ana shu usullardan taqribiy hisob usullariga kiruvchi 
chekli ayirmalar usuli bilan bir necha chegaraviy masalalarni yechish ushbu ishda 
oʻrganilgan. 
Xususiy hosilali differensial tenglamalarni 
qoʻshimcha shartlardir
bilan 
toʻldirish orqali 
chegaraviy masalalar
tuziladi. 
Bu qoʻshimcha shartlar: giperbolik va parabolik turdagi tenglamalar uchun erkli 
oʻzgaruvchi 
t
vaqtga nisbatan muhit yoki sistemaning boshlangʻich holatini 
ifodalovchi 
boshlangʻich shartlar
,
x
,
y
,
z
koordinatalar boʻyicha esa 
chegaraviy 
shartlar
kiritiladi. Termodinamik jarayonlari masalalarida, masalan ular muhit 
tadqiqot sohasi
D
ning chegaralari
S
dagi temperatura taqsimotini tavsiflaydi. Elliptik 
tenglamali masalalarda 
t
vaqt qatnashmaydi, unda faqat 
x
,
y
,
z
koordinatalar boʻyicha 
chegaraviy shartlar kiritiladi. 
Agar chegaraviy shart 
u
funksiyaning chegaradagi taqsimotini ifodalasa, ya’ni 
u

S
= 

, u holda bu shart 
Dirixle sharti
deb ataladi. Hisob sohasining chegarasida 
hosila bilan yozilsa, ya’ni 

S
=

, u holda bu shart 
Neyman sharti
deb ataladi Agar 
chegaraviy shart yuqoridagi ikkala chegaraviy shartlar kombinatsiyasidan tuzilgan 
boʻlsa, ya’ni (
αu
+
β
)

S
=Ф u holda bu 
aralash chegaraviy shart
deb ataladi. 
Bunday chegaraviy masalalarni koʻpgina analitik va taqribiy uaullar bilan 
yechish mumkin, masalan, analitik usullardan xarakteristikalar usuli (Dalamber usuli) 
, oʻzgaruvchilarni ajratish usuli (Furye usuli), manbalar usuli (Grin funksiyasi usuli). 
Taqribiy hisob usullaridan chekli ayirmalar usuli, chekli elementlar usuli, chegaraviy 
elementlar usuli, chekli hajmlar usuli, chekli avtomatlar usuli va hokazo. Ana shu 
taqribiy usullardan biri chekli ayirmalar usulidan foydalanib bir necha chegaraviy 
masalalar ushbu ishda yechilgan.