|
7.2. Chekli ayirmalar yoki to‘r usuli haqida tushunchalar.
Chekli ayirmalar usuli xususiy hosilali tenglamalarning sonli yechimini topishda
eng qulay usullardan biridir.
128
Bu usulining asosida hosilalarni chekli ayirmalar nisbati bilan almashtirish
qoidasi yotadi. Aytaylik,
Oxy
koordinatalar tekisligida chegarasi G chiziq bilan
chegaralangan yo‘yiq G soha berilgan bo‘lsin. G sohani kesib o‘tuvchi o‘qlarga
parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar oilasini quramiz:
m
k
kh
y
y
n
i
ih
x
x
i
i
,...,
2
,
1
,
0
,
,...,
2
,
1
,
0
,
0
0
Bu to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalari tugunlar deb ataladi. Hosil bo‘lgan
to‘rda ikki tugun qo‘shni tugun deb ataladi. Agar ular biri ikinchisidan
Ox
yoki
Oy
koordinata o‘qlari yo‘na-lishida
h
yoki
l
masofada joylash-gan bo‘lsa G+Г sohaga
tegishli bo‘lgan va sohaning chegarasi G dan
h
yoki
l
qadamdan kichik masofada
turgan tugunlarni ajratamiz.
Sohaning biror tuguni va unga qo‘shni bo‘lgan
to‘rtta tugun ajratilgan tugunlariga tegishli bo‘lsa, bu
tugun ichki tugun deb ataladi. (1-rasm, masalan, A
tugun). Ajratilganidan qolganlari chegara tugunlari
deb ataladi (7.1-rasm, masalan, B va C tugunlar).
Noma’lum
)
,
(
y
x
u
u
funksiyaning
tugunlaridagi qiy-matini
)
,
(
0
0
kl
y
ih
x
u
u
ik
kabi
belgilaymiz. Har bir
)
,
(
0
0
kl
y
ih
x
ichki nuqtadagi
xususiy
hosilalarni
ayirmalar
nisbati
bilan
quyidagicha almashtiramiz:
7.1-rasm.
,
2
)
(
;
2
)
(
1
,
1
,
,
1
,
1
l
u
u
y
u
h
u
u
x
u
k
i
k
i
ik
k
i
k
i
ij
chegaraviy nuqtalarda esa aniqligi kamroq bo‘lgan quyidagi formular bilan
almashtiramiz:
.
)
(
;
)
(
1
,
,
1
l
u
u
y
u
h
u
u
x
u
ik
k
ik
ik
ik
k
i
ik
Xuddi
shuningdek,
ikkinchi tartibli
xususiy
hosilalarni
quyidagicha
almashtiramiz:
.
2
)
(
;
2
)
(
2
1
,
1
,
2
2
2
,
1
,
1
2
2
l
u
u
u
y
u
h
u
u
u
x
u
k
i
ik
k
i
ik
k
i
ik
k
i
ik
(7.3)
Yuqorida ketirilgan almatiririshlar xususiy hosilali tenglamalarning o‘rniga
chekli ayrimali sistemani yechishga olib keladi.
7.3. Elliptik turdagi tenglamaga qo‘yilgan Dirixle masalasi uchun to‘r usuli.
Birinchi chegaraviy masala yoki ushbu
129
)
,
(
2
2
2
2
y
x
f
y
u
x
u
и
(7.4)
Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasi quyidagicha qo‘yiladi. G sohaning ichki
nuqtalarida (7.4) tenglamani va uning chegarasi G da esa
u
G
=
(
x
,
y
) (7.5)
shartni qanotlantiruvchi
u=u
(
x
,
y
) funktsiya topilsin. Mos ravishda
Ox
va
Oy
o‘qlarida
h
va
l
qadamlarni tanlab,
,...)
2
,
1
,
0
(
,
,...)
2
,
1
,
0
(
,
0
0
k
kl
y
y
i
ih
x
x
k
i
to‘g‘ri chiziqlar yordamida to‘r quramiz va sohaning ichki tugunlaridagi
2
2
2
2
,
y
u
x
u
hosilalarni yuqoridagi (7.3) formulalarga ko‘ra almashtirib, (7.4) tenglamani quyidagi
chekli ayirmali tenglama bilan almashtiramiz:
ik
k
i
ik
k
i
k
i
ik
k
i
f
l
u
u
u
h
u
u
u
2
1
,
1
,
2
.
1
,
1
2
2
, (7.6)
bu yerda
)
,
(
k
i
ik
y
x
f
f
. (7.6) tenglama sohaning chegaraviy nuqtalaridagi
ik
и
qiymatlari bilan birgalikda
)
,
(
k
i
y
х
tugunla-ridagi
u
(
x
,
y
) funktsiya qiymatlariga nis-
batan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Bu sistema to‘g‘ri-
burchakli sohada va
l=h
bo‘lganda eng sodda ko‘rinishga keladi. Bu holda (7.6)
tenglama quyidagicha yoziladi:
ik
ik
k
i
k
i
k
i
k
i
f
h
u
u
u
u
u
2
1
,
1
,
,
1
,
1
4
(7.7)
yoki
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
f
h
u
u
u
u
u
,
2
1
,
1
1
,
1
1
,
1
1
,
1
,
2
)
(
4
1
.
(7.8)
Chegaraviy tugunlardagi qiymatlar esa chegaraviy funksiya qiymatlariga teng
bo‘ladi.
Differensial tenglamalarni ayrimalar bilan almatirish xatoligi, ya’ni (7.8)
tenglama uchun qoldiq had
i,k
R
quyidagicha baholanadi:
,
6
4
2
,
M
h
R
k
i
bu yerda
4
4
4
4
4
,
max
y
u
x
u
M
G
.
Ayrimalar usuli bilan topilgan taqribiy yechim xatoligi uchta xatoligidan kelib
chiqadi: 1) differensial tenglamalarni ayrimalar bilan almashtiridan; 2) chegaraviy
shartni approksimatsiya qilishdan; 3) hosil bo‘lgan ayrimali tenglamalarni taqribiy
yechishlardan.
Bu (7.8) tenglama funksiyaning
u
i,k
noma’lum qiymatini uning qoʻshni toʻrtta
tugunlardagi qiymatlari bilan bogʻlaydi. Toʻrda bu tugunlar besh nuqtali “xoch”
130
(“krest”) shaklidagi shablonni tashkil etadi (1.2-rasm). U orqali toʻrdagi ixtiyoriy
i
,
j
tugun uchun tegishli indekslarni aniqlashimiz mumkin.
7.2-rasm. Elliptik turdagi tenglama uchun “xoch” (“krest”) shaklidagi shablon.
(7.8) tenglamani 2<
i
<
n
-1, 2<
k
<
m
-1 tugunlar uchun yozib chiqib, ulargaegishli
i
,
k
tindekslarni qoʻyib chiqsak, bogʻlangan tenglamalar sistemasiga kelamiz. Bu
tenglamalar soni tugunlarda izlanayotgan
u
i,k
noma’lumlar soniga teng boʻladi.
Boshqacha qilib aytganda noma’lumlar soni tenglamalar soniga teng, shuning uchun
bu sistema yopiq.
Toʻrning chetki tugunlarida u funksiyaning qiymatlari tegishli boʻlsa, u holda
boshlangʻich va chegaraviy shartlardan foydalaniladi, ya’ni, masalan, plastinka bikr
mahkamlangan desak, u holda aralash chegaraviy shartlar quyidagicha yoziladi:
.
0
.
1
,
,
,
1
m
i
i
k
n
k
u
u
u
u
(7.9)
Elliptik turdagi tenglamani chekli ayirmalar bilan approksimatsiyalash natijasida
hosil boʻlgan algebraik tenglamalar sistemasining yechimini toppish koʻp hollarda
murakkab va koʻp mashina vaqtini talab qiladi. Chunki hisob aniqligini ochirish
uchun toʻrdagi tugunlar sonini koʻpytirish zarur. Buning natijasida ba’zan bir necha
ming algebraik tenglamalarni yechish zarurati tugʻiladi. Bunday noqulaylikdan qis-
man qutilishning yoʻllaridan biri bu toʻrda notekis qadamlardan yoki tadqiqot sohas-
ining muhim sohachalarida (masalan, burchaklar, kesimlar, teshiklar atroflarida) zi-
chroq tugunlar toʻplamidan foydalanish maqsadga mufofiq.
Shu bilan birga masalaning yengillashtiradigan tomoni bu har bir algebraik
tenglamada qatnashadigan noma’lumlar sonining kamligi.
Misol tariqasida
n = m
= 5 boʻlganda chekli ayirmali algebraik tenglamalar
sistemasini lentali siyrak matritsali shaklda yozaylik:
131
(7.10)
Bunda sistemaning oʻng tarafida qatnashayotgan
u
i,j
lar chegaraviy va boshlangʻich
shartlardan ma’lum.
Bu sistemani yechish uchun koeffisiyentlar matritsasi siyrak boʻlgan holda
qoʻllaniladigan maxsus usullardan foydalanish maqsadga muvofiq, masalan, matrit-
salar usuli va progonka usuli (Gauss usuliga analog). Iteratsion usullardan esa Yakob
usuli (bir vaqtda koʻchirishlar usuli), Gauss-Zeydel usuli (ketma-ket koʻchirishlar
usuli), yuqori relaksatsiyalar usuli (Gauss-Zeydel usulining modifikatsiyasi)dan foy-
dalanish maqsadga muvofiq.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
