Mustaql ish topshiriqlari
1.
Tortuvning bo‘ylama tebranishi quyidagi tenglama bilan
ifodalanadi:
2
2
2
2
t
u
E
x
u
,
bu yerda
E
– elastiklik moduli;
– sterjen materialining zichligi. Tortuv
L
uzunlikka ega bo‘lib, uning chetlari qistirib mahkamlangan. Tortuvning o‘rtasidan
ushlab, rasmda ko‘rsatilgandek, u shunday deformatsiyalantiriladiki, bunda uning
bo‘ylama ko‘chishlari
u
ga teng bo‘ladi, ya’ni
.
2
/
agar
),
/
1
(
2
,
2
/
0
agar
,
/
2
)
0
,
(
L
x
L
L
x
u
L
x
L
ux
t
x
u
Keyin tortuv qo‘yib yuboriladi. Quyidagi jadvalda keltirilgan ma’lumotlar asosida
u
(
x
,
t
) tebranishlarni hisoblang.
Parametr
Variantlar
1
2
3
4
5
6
L,
sm
10
18
32
15
25
6
u,
sm
0,1
0,2
0,15
0,1
0,2
0,15
E
, N/m
2
110·10
9
120·10
9
97·10
9
86·10
9
120·10
9
82·10
9
, kg/m
3
4,3·10
3
5,9·10
3
6,7·10
3
8,5·10
3
7,4·10
3
9,7·10
3
2.
Ishqalanishdagi yo‘qotishlar hisobga olinmagan holda rasmda tasvirlangam yupqa
plastinkaning tebranishlari quyidagi normalashtirilgan to‘lqin tenglamasi bilan
ifodalanadi:
,
0
2
2
u
t
u
bu yerda
u
(
x
,
y
,
t
) – plastinkaning deformatsiyasi;
–
Laplas opera-tori;
x
,
y
–koordinatalar;
t
–vaqt. Quyidagi
123
jadvalda keltirilgan
a
va
b
ning qiymatlarida,
G
1
,
G
2
,
G
3
va
G
4
chegaraviy shartlarda hamda
u
(
t
= 0) va
u
/
t
(
t
= 0) boshlang‘ich
shartlardagi tebranishlarni hisoblang.
Parametr
Variantlar
1
2
3
4
5
6
a,
sm
1
2
3
2
3
2
b,
sm
2
1
2
3
1
2
Ch
eg
ara
v
iy
sh
art
lar
G
1
u
=0
u
/
n
=0
u
=0
G
2
u
/
n
=0
u
=0
u
/
n
=0
G
3
u
=0
u
/
n
=0
u
=0
G
4
u
/
n
=0
u
=0
u
/
n
=0
u
(
t
=0)
arctg[cos(
x
/
a
)]
tg[cos(
y
/
b
)]
2cos(
x
/
a
)
u
/
t
(
t
=0)
sin(2
x
/
a
) ·
sin(
y
/
b
)
exp[sin(
x
/
a
)] ·
sin(2
y
/
b
)
tg[sin(2
x
/
a
)] ·
sin(
y
/
b
)
3.
Ushbu
u
tt
u
xx
f
(
x
,
t
), 0<
x
<1,
t
>0 tenglamaning
u
(
x
,0)
f
1
(
x
),
u
t
(
x
,0)
f
2
(
x
), 0
x
1
boshlangʻich shartlarni va
u
(0,
t
)
μ
(
t
),
u
(1,
t
)
ν
(
t
),
t
>0 chegaraviy shartlarni
qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini har xil ayirmali sxemalardan foydalanib
toping, hisoblashlarni dasturlash tillaridan (Pascal, Delphi, C++) biridan yoki MS
Excel dan foydalanib bajaring, natijalarni matematik paketlardan (Maple,
MathCad, MatLab, Matematica) biridan foydalanib topilgan aniq yechim bilan
taqqoslang (bu yerda
f
(
x
,
t
) funksiyani
f
1
(
x
),
f
2
(
x
),
μ
(
t
) va
ν
(
t
) funksiyalarning
kombinatsiyasi tarzida tanlab olishingiz mumkin).
Topshiriq variantlari:
№
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
μ
(
t
)
ν
(
t
)
1.
3(2
x
+sin
x
)
cos(
x
+2) 3
t
-1
4(
t
+1)
2.
x
cos
x
-4
x
+(5-4
x
)
2
t
+1
-
t
3.
5cos
x
/2+1
4
x
2
1+2
t
5+
t
4.
(2
x
+1.5)-2
sin(x+3.2)
t
-7.5
3-
t
5.
2
x
(
x
+1)+4.3
3sin
x
0.3
4.3+
t
6.
(
x
+0.2)*sin
x
/2
4+6
x
2
0
3.2(
t
+1)
7.
2
x
sin
x
(2x+1)
2
2
t
5+
t
8.
3
x
+(1-4
x
3
)
cos(3
x
+1.5)
2
t
1-
t
9.
x
(2
x
-0.5)
cos2
x
t
2
2.5
10. (
x
+1)sin
x
x
2
+8
x
0
3.5
t
124
11. (1-
x
)+cos
x
/2
2
x
+1
2
t
+1
t
1
12. 2.5
x
(
x
+1)
x
cos
x
2
t
2
t
-1
13. 2.5(
x
2
+1)
x
sin2
x
0.5+3
t
1
14. (
x
+1)+sin
x
/2
1-
x
2
0.5
8
15. cos
x
-6+3
x
x
2
(2
x
+3)
2.5
t
t
-1
16. (1-
x
2
)cos
x
2
x
+5.6
1+1.4
t
2+
t
17. (
x
+0.5)
2
(3
x
+1)sin
x
2.5(14.5+
t
)
3.25
18. 1.2
x
-
x
2
(
x
+2.6)sin
x
5
2.2+0.5
t
19. (
x
+0.5)(
x
+1)
cos(x+3.3)
3.5
3-2
t
20. 0.5(
x
+1)
2
(
x
+6.5)cos
x
2.5
4-3
t
21. (
x
+3.4)sin
x
(2
x
+3)
2
1.5
t
2
22. (2-x)sin
x
(
x
+0.6)
2
6.5
t
3
23.
x
cos
x
/2
2
x
2
t
-1
2
t
2
24. (
x
+0.4)cos
x
/2
2.3(
x
2
+1)
2.4
2.2
t
25. (1-
x
2
)+
x
3sin(
x
+2.4)
3
(
t
+1)
2
26. 2.4(
x
+1.5)
2
x
sin(
x
+1.6)
2.1+0.5
t
0.9
27. (
x
2
+6.5)cos
x
(
x
+1.7)
2
1.5
2
t
-1.5
28. (
x
+2)(2.5
x
+1)
2sin(
x
+1/6)
2
t
4.5-3
t
29. (
x
2
+1)+(1-3
x
)
2-3sin2
x
t+1
0.5
t
30. 3(
x
+1.2)sin
x
/2
4+2
x
2
5.6
t
1.2
Ushbu variantlarni
u
tt
u
xx
F
(
u
,
u
x
,
x
,
t
)+
f
(
x
,
t
) nochiziqli tenglama uchun rivojlantiring.
Sinov savollari
1.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar klassifikatsiyasini tushuntiring.
2.
Qanday turdagi tenglamalar giperbolik turda deb aytiladi?
3.
Chegaraviy masalaning qoʻyilishini tushuntiring.
4.
Chegaraviy shartlar va ularning turlarini tushuntiring.
5.
Matematik modeli giperbolik turdagi tenglamaga keltiriladigan fizik-mexanik
jarayonlarga misollar keltiring.
6.
Toʻrlar usulining asosiy mazmuni nimadan iborat?
7.
Ayirmali sxema deganda nimani tushunasiz.
8.
Giperbolik turdagi tenglamaning chekli ayirmali approksimatsiyasini tushuntir-
ing.
9.
Chekli ayirmali sxema shablonlari deganda nimani tushunasiz?
10.
Oshkor va oshkormas sxemalarni tushuntiring.
125
11.
Chekli ayirmali sxema ustivorligi daganda nimani tushunasiz?
12.
Approksimatsiya xatoligi deganda nimani tushunasiz?
13.
Chegaraviy shartlarning chekli ayirmali approksimatsiyasini tushuntiring.
14.
Giperbolik turdagi tenglamani Maple matematik paket yordamida sonli yechini
qanday tushunasiz?
15.
Giperbolik turdagi tenglamani Mathcad matematik paket yordamida sonli yechi-
ni qanday tushunasiz?
16.
Giperbolik turdagi tenglamani Matlab matematik paket yordamida sonli yechini
qanday tushunasiz?
126
7-BOB. ELLIPTIK TURDAGI BIR OʻLCHOVLI TENGLAMANI SONLI
YECHISH HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHALAR
7.1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida tushunchalar.
Ikki noma’lumli o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan
u=u
(
x
,
y
) funksiyaning ikkinchi
tartibli xususiy hosilali differentsial tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz.
0
)
,
,
,
,
,
,
,
(
yy
xy
xx
y
x
u
u
u
u
u
u
y
x
F
,
(7.1)
bu yerda
x
,
y
erkli o‘zgaruvchilar,
u
izlanayotgan noma’lum funktsiya,
yy
xy
xx
y
x
u
u
u
u
u
,
,
,
,
lar
x
,
y
erkli o‘zgaruvchilar bo‘yicha birinchi va ikkinchi tartibli
xususiy hosilalar.
(7.1) tenglamaning yechimi deb, uni ayniyatga aylanti-ruvchi
u=u
(
x,y
)
funksiyaga aytiladi. Bu yechim grafigi
Oxyu
fazoda sirtni ifodalaydi.
Agar (7.1) tenglamada
u
izlanayotgan noma’lum funksiya va uning xususiy
hosilalari
yy
xy
xx
y
x
u
u
u
u
u
,
,
,
,
ning darajalari birinchi bo‘lsa hamda ularning
ko‘paytmalari ishtirok etmasa bunday tenglama chiziqli deb ataladi. Uni quyidagicha
yozish mumkin:
)
,
(
2
2
2
2
2
2
y
x
F
cu
y
u
b
x
u
а
y
u
С
у
x
u
В
x
u
А
, (7.2)
bu yerda
A,B,C
,
a,b,c
koeffitsentlar o‘zgarmas
yoki
x,y
erkli o‘zgaruvchilarning
funksiyalari bo‘lishi mumkin.
(7.2) o‘zgarmas koeffitsentli tenglama bo‘lsin.
(7.2) tenglama diskriminanti
D=AC-B
2
ni hisoblaymiz, buning ishorasiga qarab
tenglama turini aniqlaymiz:
agar
D>0
(7.2) elliptik turdagi tenglama;
agar
D=0
(7.2) parabolik turdagi tenglama;
agar
D<0
(7.2) giperbolik turdagi tenglama.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar bilan ifodalanuvchi jarayonlarning mu-
him tashkil etuvchilaridan biri bu tenglamalarning oʻzidan tashqari ularga mos
qoʻshimcha shartlardir
.
Giperbolik vaparabolik turdagi tenglamalar uchun erkli oʻzgaruvchi t vaqtga
nisbatan muhit yoki sistemaning boshlangʻich holatini ifodalovchi
boshlangʻich
shartlar
kiritiladi.
x
,
y
,
z
koordinatalar boʻyicha esa
chegaraviy shartlar
kiri-
tiladi.Issiqlik jarayonlari masalalarida, masalan ular muhit tadqiqot sohasining chega-
ralaridagi temperatura taqsimotini tavsiflaydi.Elliptik tenglamali masalalarda esa t
vaqt qatnashmaydi, unda faqat
x
,
y
,
z
koordinatalar boʻyicha chegaraviy shartlar kiri-
tiladi,masalaning oʻzi esa
chegaraviy masala
deb ataladi.
127
Agar chegaraviy shart
u
funksiyaning chegaradagi taqsimotini ifodalasa, u holda
bu shart
Dirixle sharti
deb ataladi.Hisob sohasining chegarasida hosila bilan ifoda-
lanuvchi ushbu
shart bilan yozilsa, u holda bus hart
Neyman sharti
deb ataladi, bu yerda
n
– tadqiqot sohasi chegarasiga qoʻyilgan birlik normal.Agar
chegaraviy shart yuqoridagi ikkala chegaraviy shartlar kombinatsiyasidan tuzilgan
boʻlsa, u holda bu
aralash chegaraviy shart
deb ataladi.
Amaliyotda bunday chegaraviy masalalarni yechishning koʻpgina usullari
mavjud, masalan, xarakteristikalar usuli, oʻzgaruvchilarni ajratish usuli, manbalar
usuli, taqribiy hisob usullari. Ana shu usullardan taqribiy hisob usullariga kiruvchi
chekli ayirmalar usuli bilan bir necha chegaraviy masalalarni yechish ushbu ishda
oʻrganilgan.
Xususiy hosilali differensial tenglamalarni
qoʻshimcha shartlardir
bilan
toʻldirish orqali
chegaraviy masalalar
tuziladi.
Bu qoʻshimcha shartlar: giperbolik va parabolik turdagi tenglamalar uchun erkli
oʻzgaruvchi
t
vaqtga nisbatan muhit yoki sistemaning boshlangʻich holatini
ifodalovchi
boshlangʻich shartlar
,
x
,
y
,
z
koordinatalar boʻyicha esa
chegaraviy
shartlar
kiritiladi. Termodinamik jarayonlari masalalarida, masalan ular muhit
tadqiqot sohasi
D
ning chegaralari
S
dagi temperatura taqsimotini tavsiflaydi. Elliptik
tenglamali masalalarda
t
vaqt qatnashmaydi, unda faqat
x
,
y
,
z
koordinatalar boʻyicha
chegaraviy shartlar kiritiladi.
Agar chegaraviy shart
u
funksiyaning chegaradagi taqsimotini ifodalasa, ya’ni
u
S
=
, u holda bu shart
Dirixle sharti
deb ataladi. Hisob sohasining chegarasida
hosila bilan yozilsa, ya’ni
S
=
, u holda bu shart
Neyman sharti
deb ataladi Agar
chegaraviy shart yuqoridagi ikkala chegaraviy shartlar kombinatsiyasidan tuzilgan
boʻlsa, ya’ni (
αu
+
β
)
S
=Ф u holda bu
aralash chegaraviy shart
deb ataladi.
Bunday chegaraviy masalalarni koʻpgina analitik va taqribiy uaullar bilan
yechish mumkin, masalan, analitik usullardan xarakteristikalar usuli (Dalamber usuli)
, oʻzgaruvchilarni ajratish usuli (Furye usuli), manbalar usuli (Grin funksiyasi usuli).
Taqribiy hisob usullaridan chekli ayirmalar usuli, chekli elementlar usuli, chegaraviy
elementlar usuli, chekli hajmlar usuli, chekli avtomatlar usuli va hokazo. Ana shu
taqribiy usullardan biri chekli ayirmalar usulidan foydalanib bir necha chegaraviy
masalalar ushbu ishda yechilgan.
Do'stlaringiz bilan baham: |