|
113
6.2. Byurgers tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan sonli yechish.
Qovushoqmas siqiluvchan gaz uchun Eylerning bir oʻlchovli tenglamalari siste-
masi divergent shaklda quyidagicha yoziladi [3]:
,
0
)
(
x
u
t
u
(6.1)
bu yerda
.
)
(
;
2
uE
pu
u
p
u
u
E
u
u
Xususan, (6.1) nochiziqli tenglama qovushoqlik hisobga olinmaganda quyidagi
Byurgers tenglamasini beradi [3]:
0
x
u
u
t
u
yoki
0
2
2
u
x
t
u
. (6.2)
Umuman olganda esa Byurgers nochiziqli tenglamasi quyidagicha yoziladi:
)
,
(
)
(
2
2
t
x
g
x
u
x
u
au
c
t
u
. (6.3)
Byurgers tenglamasi bir oʻlchovli Navye-Stoks tenglamasining xususiy holidir.
Gidrodinamikaning ba’zi masalalarini yechishda (6.2) yoki (6.3) tenglamalarn-
ing yechimini topish juda katta amaliy ahamiyatga ega. Buni koʻp hollarda analitik
usul bilan amalga oshirib boʻlmaydi. Shunday paytda bizga (6.2) yoki (6.3) tenglama-
larni har xil chekli ayirmali sxemalar bilan approksimatsiyalash orqali uni sonli
yechish yaxshi natija beradi [3]. Buni quyidagi aniq amaliy masalani yechish orqali
koʻrsatish mumkin.
1-masala.
Quyidagi chegaraviy masalani chekli ayirmalar usuli bilan yeching:
0
)
1
(
x
u
u
t
u
, 0 <
x
1, t > 0,
u
(
x
,0) =
,
2
)
2
(
4
x
arctg
0
x
1,
u
(0,
t
) =
t
e
arctg
2
4
2
, t > 0.
Quyidagi ayirmali toʻrni kiritamiz:
,
,
/
1
,
,...,
1
,
0
,
j
t
N
h
N
i
ih
x
j
i
bu yerda
N
–
Ox
oʻq boʻylab tugunlar soni;
– vaqt boʻyicha qadam;
h
–
x
koordinata
boʻyicha qadam. Toʻr funksiyasini
)
,
(
~
j
i
ij
t
x
u
z
. Bularga koʻra chegaraviy masalada
berilgan tenglamaning
2
,
2
j
i
t
h
x
nuqtadagi ayirmali approksimatsiyasi:
,
0
4
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
h
z
z
z
z
h
z
z
z
z
z
z
z
z
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(6.4)
114
chegaraviy va boshlangʻich shartlarni approksimatsiyalash esa quyidagicha:
,
2
)
2
(
4
0
i
i
x
arctg
z
(6.5)
j
t
j
e
arctg
z
2
4
2
0
. (6.6)
Hosil boʻlgan (6.4)-(6.6) ayirmali masalani yugiruvchi hisob sxemasi boʻyicha
yechish mumkin. Faraz qilaylik, izlanayotgan toʻr funksiyasining biror
t
j
vaqt mo-
mentidagi qiymatlari ma’lum,
t
j
+1
vaqt momentida unng qiymatlarini topish talab
etilsin. Dastlab (6.4) tentlamani
i
= 0 da yozib olamiz, bunda (6.6) ga koʻra
z
0
j
+1
qiymatlar ma’lum. Natijada
z
1
j
+1
ga nisbatan kvadrat quyidagi tenglamaga kelamiz:
0
4
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
1
2
1
ˆ
4
1
)
ˆ
(
2
0
2
0
2
1
0
0
1
1
0
0
1
2
1
1
h
z
z
z
h
z
z
z
z
z
z
z
h
z
h
z
f
. (6.7)
bu yerdagi
h
va
qadamlar ayirmali sxema ustivorligi shartidan topiladi. Bu (6.4)
toʻrt nuqtali shablon boʻyicha chiqarilgan yuqori aniqlikdagi ayirmali sxemaning us-
tivorligini maksimum prinsipini qoʻllash orqali koʻrsatib boʻlmaydi, ammo spektral
kriteriya bilan (6.4) ning doimo ustivor ekanligini koʻrsatish mumkin [3,4]
Bu kvadrat tenglamani analitik yoki taqribiy hisob usullaridan biri, masalan,
Nyuton usuli bilan yechish mumkin. Faraz qilaylik,
)
(
1
ˆ
k
z
izlanayotgan
1
ˆ
z
ildizga biror
yaqinlashish boʻlsin. U holda (6.7) tenglama ushbu
0
ˆ
ˆ
)
(
1
)
(
1
k
k
z
z
f
koʻrinishni
oladi, bunda
)
(
1
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
k
z
z
z
. Bu tenglamani qatorga yoyib va uni chiziqlilashtirib,
ushbu
)
(
1
)
(
1
)
(
1
ˆ
ˆ
ˆ
k
k
k
z
f
z
z
f
tenglikni, oʻz navbatida esa ushbu
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
1
(
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
k
k
k
k
z
f
z
f
z
z
iteratsion formulani hosil qilamiz. Iteratsion jarayon
aniqlik bilan
)
(
1
ˆ
k
z
. Shart
bajarilgancha davom ettiriladi. Ketma-ket
N
z
z
z
ˆ
,
...
,
ˆ
,
ˆ
2
1
larni hisoblab, funksiyaning
t
j
+1
vaqt momentidagi qiymati hosil qilinadi.
Hisoblashlarni matematik paketlardan biri (masalan, Maple, Mathcad,
MATLAB yoki boshqa) yordamida bajarish mumkin.
MS Excel elektron jadvali imkoniyatlari ham ushbu masalani muvaffaqiyatli
yechish imkonini beradi. Bu quyidagicha bajariladi:
1)
MS Excel-2010 dasturini ishga tushiring. Yangi varaq oching (masalan,
Лист1
). Boshlangʻich ma’lumot sifatida
x
ning qiymatlarini
A2:A52
diapazonga
x
=
0 dan
h
= 0,02 qadam bilan
x
= 1 gacha,
t
ning qiymatlarini
B1:AE1
diapazonga
t
= 0
dan
= 0,01 qadam bilan
t
= 0,3 gacha joylashtiring.
2)
B2
yacheykaga ushbu =4*ATAN(A2-2)/3,14159+2 hisoblashni (3.5) formula
boʻyicha kiriting va uni
B3:B52
yacheykalarga tarqating.
3)
C2
yacheykaga ushbu =(2-4*ATAN(2)/3,14159)*EXP(-C1) hisoblashni (3.6)
formula boʻyicha kiriting va uni
D1:AE1
yacheykalarga tarqating.
115
4)
C3
yacheykaga ushbu =-3+КОРЕНЬ(9-0,08*((C2-B2-B3)/0,02+(B3-B2-
C2)/0,04+(B3^2-B2^2-C2^2)/0,08)) hisoblashni (bu ifoda (3.7) kvadrat tenglamaning
ildizlaridan biri) kiriting va uni
C3:AE52
yacheykalarga tarqating.
5)
A1:AE52
yacheykalardagi ma’lumotlarni belgilab (
Ctrl+A
),
Вставка
Диаграмма
Поверхность
Проволочная поверхность
tugmachalari orqali
quyidagi grafikni yasang (6.2-rasm).
6.2-rasm. Toʻrt nuqtali shablon boʻyicha chiqaril-
gan ayirmali sxema natijasi.
Ushbu (6.4) toʻrt nuqtali
shablon boʻyicha chiqarilgan
ayirmali sxema oddiy oshkor va
oshkormas sxemalarga nisbatan
yuqori
aniqlikdagi
silliq
yechimni beradi. Chegaraviy
masalaning uzilishli yechimlari
yoki katta gradiyentli yechimlari
boʻlganda bu ayirmali sxemadan
foydalanish maqsadga mufofiq
emas.
2-masala.
Yuguruvchi hisob sxemasi va iteratsion usullardan foydalanib,
quyidagi chegaraviy masala sonli yechilsin:
).
(
2
1
1
)
,
0
(
);
2
cos(
)
0
,
(
,
0
;
1
0
,
0
1
2
2
t
arctg
t
u
x
x
u
t
x
x
u
u
u
t
u
Masalani yechishning algoritmi.
Berilgan tenglamani ushbu
0
;
1
0
,
0
)
1
ln(
2
t
x
x
u
t
u
ko‘rinishga keltiramiz. Quyidagi ayirmali sxema to‘rini kiritamiz:
,
1
,
...
0
,
,
1
,
...
0
,
S
s
S
j
j
t
N
h
N
i
ih
x
j
i
bu yerda
N
–
Ox
o‘qi bo‘ylab,
S – Ot
o‘qi bo‘ylab tugunlar soni;
h
,
τ
– koordinata va
vaqt bo‘yicha qadamlar. To‘r funksiyani
y
ij
=
u
(
x
i
,
t
j
) kabi kiritamiz. Oxirgi tenglaman-
ing ayirmali approksimatsiyasi quyidagicha yoziladi:
,
0
2
)
1
ln(
)
1
ln(
)
ˆ
1
ln(
)
ˆ
1
ln(
2
ˆ
ˆ
2
2
1
2
2
1
1
1
h
y
y
y
y
y
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i
i
(6.1’)
chegaraviy va boshlang‘ich shartlar:
).
(
2
1
1
);
2
cos(
0
0
t
arctg
y
x
y
j
i
Hosil qilingan ayirmali masalani yuguruvchi hisob sxema yordamida yechamiz.
(6.1’) tenglamadan foydalanib,
y
i
+1,
j
+1
ni quyidagi tenglamadan topamiz:
116
.
0
2
)
1
ln(
)
1
ln(
)
ˆ
1
ln(
)
1
ln(
2
ˆ
)
(
2
2
1
2
2
1
h
y
y
y
u
y
u
y
y
u
f
i
i
i
i
i
i
(6.2’)
(6.1’) tenglama transendent, uni quyidagi usul bilan yechamiz.
y
i
+1,
j
+1
ni ketma-ket
yaqinlashishlar bilan izlaymiz. Faraz qilaylik,
y
i
+1,
j
+1
ga dastlabki biror
u
0
yaqinlash-
ish ma’lum bo‘lsin, u holda (6.2’) tenglama ushbu
f
(
u
0
+Δ
u
0
) = 0 ko‘rinishga keladi,
bu yerda Δ
u
0
=
u - u
0
. Bu tenglamani qatorga yoyib, uni chiziqlilashtirish orqali
quyidagi tenglikka kelamiz:
).
(
)
(
0
0
0
u
f
u
u
f
Natijada navbatdagi va undan keyingi
yaqinlashishlar uchun
)
(
'
/
)
(
1
i
i
i
i
u
f
u
f
u
u
munosabatni hosil qilamiz. Hisoblashlar
jarayoni berilgan ε aniqlikka erishilgunga qadar (|
f
(
u
i
)|< ε) davom ettiriladi. Xuddi
shunday,
y
i
+1,
j
+1
larning qolgan indekslari uchun qiymatlari topiladi.
Hisob natijalari.
Yuqorida keltirilgan hisob shabloni asosida MATLAB dasturi
yaratildi, uning natijalari 6.3-rasmda tasvirlangan.
N = 100; S = 100; e=0.01;
T = 0.3; h = (1/N); tau = (T/S);
Yrange = 0:h:1; Xrange = 0:
tau:T;
for
n=1:N+1,
for
s=1:S+1,
y(n,s)=0;
end
;
end
;
for
n=1:N+1, a=n*h;
y(n,1)=cos(pi*a/2);
end
;
for
s=1: S+1, t=s*tau;
y(1,s)=1+1/2*atan(t);
end
;
for
i=1:N,
for
j=1:S,
ul=y(i,j+1); dl=y(i,j);
dr=y(i+1,j);
yi = dl; ur=yi; ee=ur/(2*tau)+(ul-dl-
dr)/(2*tau)+log(1+ur*ur)/(2*h)+(log(1+dr*dr
)-log(1+dl*dl)-log(1+ul*ul))/(2*h);
while
(abs(ee)>e),
ur=yi; ee=ur/(2*tau)+(ul-dl-
dr)/(2*tau)+log(1+ur*ur)/(2*h)+(log(1+dr*dr
)-log(1+dl*dl)-log(1+ul*ul))/(2*h);
ed=1/(2*tau)+2*ur/((1+ur*ur)*2*h);
yi=yi-ee/ed;
end;
y(i+1,j+1)=yi;
end
;
end
;
surf(Xrange,Yrange,y); colormap
gray
Xlabel(
'T'
); Ylabel(
'X'
); Zlabel(
'U'
);
6.3-rasm. MATLAB dasturi hisobi natijalari.
Do'stlaringiz bilan baham: |
