|
9-BOB. KONTURI BILAN CHEGARALANGAN BIR XIL ISSIQLIK
OʻTKAZUVCHANLIK XOSSASIGA EGA BIRJINSLI SOHADA
TEMPERATURA TAQSIMOTINI TOPISH MASALASINI SONLY YECHISH
9.1. Masalaning qoʻyilishi. Chekli ayirmalar (toʻrlar) usuli.
Tekislik
Oxy
da
L
kontur bilan chegaralangan bir xil issiqlik oʻtkazuvchanlik
xossasiga ega birjinsli
D
sohani qaraylik (9.1-rasm). Issiqlik oʻtkazuvchanlik
koeffisiyent a oldindan ma’lum. Sohaning
L
konturida temperatura taqsimoti
T
=
f
(
s
) (
s
– yoy boʻyicha yoʻnalgan abscissa) qonuniyat bilan berilganda
D
sohaning ichki
nuqtalarida
T
=
Ф
(
x
,
y
) temperatura taqsimotini topish talab etiladi.
Issiqlik oʻtkazuvchanlikning statsionar tenglamasini yechishning sonli
usullaridan biri bu chekli ayirmalar usuliga asoslangan
oʻrnatish usuli
boʻlib, uning
qoʻllanilishi quyida tavsiflangan. Bu holda hostatsionar issiqlik oʻtkazuvchanlik
tenglamasi biror boshlangʻich temperatura taqsimoti va statsionar chegaraviy shart
bilan berilganda sonli yechiladi. Masalani yechish jarayonida vaqt cheksizga intiladi,
u holda yechim “oʻrnatiladi”, ya’ni vaqt oʻtishi bilan yechim oʻzgarmas boʻlib qoladi.
Ana shu holat statsionar tenglamani yechish bilan bir xil boʻladi.
Nostatsionar issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi quyidagicha yoziladi:
(9.1)
Bu yerdagi
a
– issiqlik oʻtkazuvchanlik koeffisiyenti yechimning oʻzgarmasligi
oʻrnatilishi tezligiga ta’sir qiladi. Bu koeffisiyentni kanonik hol uchun
a
= 1 deb ol-
ishimiz mumkin.
=
– Laplas operatori.
Boshlangʻich vaqt momentida
.
Bu qoʻyilgan masalaning yechimi boshlangʻich temperatura taqsimotidan
bogʻliq emas, shuning uchun
= 0 deb olish mumkin.
Tadqiqot sohasi
D
ni
Ox
va
Oy
oʻqlariga mos
x
va
y
qadamli teng taqsim-
langan toʻr bilan qoplaymiz (9.2-rasm).
Ta’rifga koʻra birinchi tartibli xususiy hosila quyidagicha yoziladi:
Agar
u
(
x
,
y
) funksiyani tadqiqot sohasi toʻrining tugunlaridagina qarasak, u holda
birinchi tartibli xususiy hosilani ushbu
141
oʻng chekli ayirma
deb ataluvchi formula bilan yozishimiz mumkin, bu yerda (
i
,
j
) –
tadqiqot sohasining (
x
,
y
) nuqtasiga mos keluvchi tugun. Bu formulaning bunday atal-
ishiga sabab unda funksiyaning tadqiqot nuqtasi va undan oʻngdagi nuqtalardagiqi-
ymatlaridan foydalanilganligida. Xuddi shunday tadqiqit nuqtasi va undan chapdagi
nuqtadagi fuksiya qiymatlaridan foydalansak, u holda ushbu
chap chekli ayirma
deb
ataluvchi formulaga kelamiz:
9.1-rasm.Tadqiqot sohasi.
9.2-rasm.Tadqiqot sohasini toʻr bilan
qoplash sxemasi.
Xuddi shunday, ikkinchi tartibli xususiy hosila uchun ushbu
markaziy chekli ayirma
formulasini hosil qilamiz.
(1) tenglamani chekli ayirmalarda quyidagicha approksimatsiyalaymiz:
(9.2)
Bu yerda
t
– vaqt boʻyicha qadam;
k
– vaqt oʻzgarishini ifodalovchi indeks;
i
va
j
–
mos
x
va
y
koordinatalar boʻyicha oʻzgarishlarni ifodalovchi indekslar. (9.2) formu-
ladan koʻrinib turibdiki, faqat bitta qoʻshiluvchi (
k
+1) – vaqt qatlamidan bogʻliq, qol-
gan barcha qoʻshiluvchilar
k
-vaqt qatlamiga tegishli. Shuning uchun tadqiqot sohas-
ining barcha ichki nuqtalari uchun vaqtning keying qatlamida temperatura taqsimotini
hisoblash imkonini beruvchi quyidagi formulani yozamiz:
(9.3)
Sohaning chegara nuqtalari uchun esa temperaturning qiymati chegaraviy
shartdan topiladi:
142
. (9.4)
Toʻr sohani toʻlaligicha qoplamaydi. Shuning uchun approksimatsiya sohasining
chegara nuqtalari deganda
L
chegara chizigʻiga yaqin boʻlgan toʻr tugunlarini
tushunamiz va shu tugunlarda (9.4) formula oʻrinli boʻladi.
Iteratsiya jarayoni (9.3) formula bilan hisoblanar ekan, yechimnning yaqinlash-
ishi quyidagi shart bilan tekshirilib boriladi:
(9.5)
bu yerda
- yetarlicha kichik musbat son.
Shunday qilib, hisoblash jarayonini quyidagi iteratsiyalarda bajarish mumkin:
1)
t
= 0,
k
= 0. Tadqiqot sohasi
D
ning barcha ichki nuqtalari uchun
,
chegarasi
L
dagi nuqtalar uchun esa
.
2) (9.3) formuladan foydalanib tadqiqot sohasi
D
ning barcha ichki nuqtalarida
temperatura taqsimotini, uning chegarasi
L
da esa (9.4) formula boʻyicha
ni hisoblaymiz.
3) Agar (9.5) kriteriya bajarilmasa, u holda
t
=
t
+
t
,
k
=
k
+1 qiymatlar uchun
boshqaruмni 2-qadamga uzatamiz. Agar bushart bajarilsa, u holda iteratsion jarayon
toʻxtatiladi.
Hisoblash jarayonlari ustivorligini ta’minlash uchun (9.2) ayirmali sxema usti-
vorligi shartini quyidagi shartdan tahlil qilish zarur:
1-Masala.
Tadqiqot sohasi 9.3-
rasmda tasvirlangandek kvadrat shak-
lida berilgan. Tadqiqot sohasi boʻyicha
toʻr sxemasi 9.4-rasmda tasvirlangan.
Sohaning
chetlarida
temperatura
berilgan.
9.3-rasm. Tadqiqot obyekti
9.4-rasm. Tadqiqot sohasi boʻyicha toʻr
sxemasi.
143
2-masala.
Tadqiqot sohasining ichida (15, 20), (25, 10) va (10, 10) nuqtalarda
manba mavjud hamda asosiy tenglamada Ф
tt
= 0 va Ф
xx
+ Ф
yy
= f(x,y) desak, (9.3)
iteratsion usul bilan chegaraviy masalaning Mathcad dasturi yordamida yechimi
quyidagi natijani beradi:
Do'stlaringiz bilan baham: |
