Samarqand davlat universiteti giperbolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli

Berilgan (1.1) chegaraviy masalani birinchi tartibli ikkita tenglamalar 
sistemasi uchun yozilgan masalaga keltirish.
 
Izoh. 
Quyida berilgan chegaraviy masalani sun’iy yo’l bilan boshqa qulayrok 
masalaga, masalan, akustika tenglamasi uchun qo’yilgan masalaga olib kelish 
mumkin. Akustika tenglamasi ko’chirish tenglamasi kabi. 
Ushbu (1.1) masala quyidagi masalaga ekvivalent: 
bu yerda birinchi tenglamaning o’ng tarafida turgan funksiya quyidagicha: 
(1.6) 
Buni quyidagicha izohlash mumkin: 
Yangi 
v
(
t
,
x
) funksiyani shunday 
tanlaymizki, uni 
u
(
t
,
x
) funksiya bilan 
v
(0,
x
)=0 shartdan foydalanib, ushbu 
tenglamadan olamiz. U holda to’lqin tenglamasi quyidagicha yoziladi: 
Oxirgi munosabatni 
t
bo’yicha integrallasak, quyidagini hosil qilamiz: 

---

18 
Integrallahni bajarganimizdan keyin esa 
ya’ni
bu yerda 
Shunday qilib, (1.1) masala (1.6) kabi ikkita birinchi tartibli differensial 
tenglamalar sistemasidan iborat masalaga keltirildi. 
Qo’shimcha izoh: 
(1.6) differensial tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin: 
bu yerda 
q = u – v
– Riman invariantlari. 
Bu oxirgi tenglamalarning xususiyati shundaki, har birida alohida bittadan 
funksiya differensiallanmoqda (
q
yoki 
r
). Shuni ta’kidlaymizki, dastlabki (1.6) 
sistemani invariant funksiyalar orqali yozish bu shu sistemaning giperboliklik belgisi. 
Ko’rinib turibdiki, qaralayotgan masala invariantlar uchun yozilgan quyidagi 
masalaga keltirildi: 
(1.7) 
Hosil bo’lgan invariantlar uchun tenglama bizga ma’lum bo’lgan ko’chirish 
tenglamasining o’zi. Demak, ko’chirish tenglamasiga ham ayirmali sxemalarni 
qo’llash mumkin. 
Shunday qilib, dastlabki (1.1) masalaning o’rniga (1.6) masalani yoki 
invariantlar uchun (1.7) masalani yechish mumkin. Oxirgi holda izlanayotgan 
u
funksiya 
q
va 
r
orqali kerakli nuqtalarda u = (q + r)/2 formula bilan hisoblanadi. 
(1.6) masala uchun ayirmali sxema variantlari. 
Izoh.
Ma’lumki, oshkormas sxemalar amaliyotda deyarli doimo ustivor. Ammo, 
(1.6) masalaga nisbatan ularning qo’llanilishi ma’lum bir qiyinchiliklarni tug’diradi, 
chunki vaqtning navbatdagi qatlamida chiziqli tenglamalar sistemasini (umumiyroq 
aytganda, uch diagonalli matritsali sistemani) yechish talab qilinadi. 

---

19 
Taqribiy hisoblashlarni aniqlashtirish uchun aniq chegaraviy masala va uning 
analitik yechimidan foydalanish mumkin. Bunda matematik paketlardan (masalan, 
Mathcad yoki Maple)ga murojaat qilish mumkin bo’ladi. 
Masalan, ushbu 
chegaraviy masala uchun aniq analitik yechim quyidagicha: 
Shunday qilib, quyidagi ayirmali sxemalarni approkimatsiyaga va ustivorlikka 
tahlil qilish mumkin ekan: 
1) «Xoch» («krest») sxemaga; 
3) quyidagi shablon bilan oshkormas 
sxemaga 
2) quyidagi shablon bilan oshkormas 
sxemaga 
4) quyidagi 
shablon 
bilan 
oshkor 
sxemaga