1.4. Giperbolik tipdagi bir oʻlchovli tenglamani sonli yechishning har xil
usullari.
Differensial chegaraviy masala.
Quyida bir oʻlchovli ikkinchi tartibli giperbolik
tipdagi xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari bilan
tanishiladi. Buning uchun quyidagi chegaraviy masala (yupqa torning kichik
tebranishlari haqidagi masala) qaraladi:
,
0
,
1
0
),
,
(
2
2
2
2
2
t
x
x
t
f
x
u
a
t
u
u
(0,
x
) =
1
(
x
),
t
u
(0,
x
)=
2
(x), 0
x
1, (1.1)
u
(
t
,0) =
1
(
t
),
u
(
t
,1) =
2
(
t
),
t
> 0.
Quyidagi holatlar tahlil qilinadi:
1) (1.1) chegaraviy masalanni yechish uchun ayirmali sxemalarni tuzish uslublari;
2) boshlang’ich va chegaraviy shartlarni approksimatsiyalash muammolari;
3) hisoblashlar ketma-ketligi.
To’rli soha.
Qaralayotgan chegaraviy masala uchun:
W
h
= [(
t
p
,
x
m
)],
p
= 0, 1, ...,
P
,
m
= 0, 1, …,
M
,
u
h
= [
u
p
m
],
p
= 0, 1, ...,
P
,
m
= 0, 1, …,
M
,
bu yerda
u
p
m
– to’r funksiyasining (
t
p
,
x
m
) tugunga tegishli komponentasi;
t
p
= p
;
-
vaqt
t
bo’yicha qadam,
P
= T
;
h
– koordinata
x
bo’yicha qadam,
x
m
= mh
;
Mh
= 1.
13
Ayirmali masala
(
ayirmali sxema
). Qaralayotgan differensial masala uchun
qo’llanilishi mumkin bo’lgan ayirmali sxemalardan biri quyidagicha:
p
= 1, 2, …,
P
– 1;
m
= 1, 2, …,
M
– 1;
m
= 0, 1, …,
M
;
p
= 1, 2, …,
P
;
Ayirmali sxemaning shabloni.
Qaralayotgan ayirmali sxema uchun
berilgan
m
va
p
larda yechimning qiymatini
to’rning to’rtta nuqtasi bo’yicha bog’lovchi
tuzilma qaralayot-gan ayirmali sxemaning
shabloni deb ataladi (1.5-rasm).
Approksimatsiya xatoligi
(
tafovut
).
1.5-rasm. Ayirmali sxemasi
shabloni.
Tafovutning qiymati haqida tasavvurga ega bo’lih uchun dastlab tayanch
nuqtani berish va bu nuqtaga nisbatan
f
h
(yoki
f
m
p
) ifodaganing Teylor qatori-dagi
yoyilmasiga kiruvchi [
u
(
t
,
x
)] ning qiymatini tasavvur qilish lozim. Masalan, tayanch
nuqt sifatida (
t
p
,
x
m
) nuqtani tanlash bilan yuqorida qaralgan ayirmali sxema uchun
ushbu
tenglikka ega bo’lamiz.
Izoh
. To’lqin tenglamasi uchun «xoch» («krest») sxemaning approksimatsiya
tartibi boshlangich shartlarning approksimatsiya tartibi bilan aniqlanadi. Bu sxema
ichki nuqtalar uchun har ikkala o’zgaruvchilar bo’yicha ikkinchi tartiblidan kichik
bo’lishi mumkin.
Ustivorlikning spektral belgisi.
Ayirmali sxema ustivorligi to’grisida nazariy
ma’lumotlarni [1,2,5] adabiyotlardan to’laroq olish mumkin.
Birjinsli ayirmali masala uchun yechimni quyidagicha izlaymiz:
Bu yechimni ayirmali tenglamaga qo’ysak, quyidagiga ega bo’lamiz:
14
yoki
Ko’rinib turibdiki, bu kvadrat tenglama ildizlarining ko’paytmasi 1 ga teng.
Agar kvadrat tenglamaning ushbu diskriminanti
manfiy bo’lsa, u holda
ildizlar o’zaro qoshma komplek va ularning moduli birga teng.
Ayirmali sxema ustivor bo’lishi uchun ushbu
1 tengsizlik bajarilishi zarur,
ya’ni {
,
h
} shunday tanlanishi lozimki, quyidagi tengsizlik bajarilsin:
1
)
/
(
2
h
a
.
Do'stlaringiz bilan baham: |